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2015年全国高中数学联赛模拟试卷（6） 姓名_1.设是上的递减函数，对任意的有.则满足条件的一个函数为_.2.设正三棱柱的体积为，点分别在棱上，则四面体的体积为_.3.设常数，集合.记的所有子集分别为.对，用表示集合中所有元素的和，规定，则_.4.设，则的最小值是_.5.设是的三个内角.若，其中，且，则_.6.在上任取两个实数，则方程有实根的概率为_.7.已知是的外心.若，且，则_.8.设为整数，令.若的整数部分为2013，且2013除以的余数为53，则的整数部分除以的余数是_.9.设，函数满足.求证：在上不可能有两个零点.10.已知是抛物线上一动点，设点.若以为为直径的圆与抛物线只有两个公共点，求该圆面积的取值范围.11.试求所有的正整数及实数，使得与均为有理数.2015年全国高中数学联赛模拟试卷（6）参考答案1.设是上的递减函数，对任意的有.则满足条件的一个函数为_.【答案】.【解析】考虑指数模型，设即可.2.设正三棱柱的体积为，点分别在棱上，则四面体的体积为_.【答案】.3.设常数，集合.记的所有子集分别为.对，用表示集合中所有元素的和，规定，则_.【答案】.【解析】对于中的任意一个元素，含的子集共有个，故每个元素均出现了次，.4.设，则的最小值是_.【答案】.【解析】当时，.只需证明即可.设，则，只需证明，由于，得证.5.设是的三个内角.若，其中，且，则_.【答案】.【解析】显然是锐角，故也为锐角.6.在上任取两个实数，则方程有实根的概率为_.【答案】.【解析】. 几何概型，用定积分求面积.7.已知是的外心.若，且，则_.【答案】.【解析】不妨设，建系设点，求出点坐标.8.设为整数，令.若的整数部分为2013，且2013除以的余数为53，则的整数部分除以的余数是_.【答案】.【解析】设，则，若是平方数，设，则，则，舍去；故不是平方数，不是整数，即，.9.设，函数满足.求证：在上不可能有两个零点.证明：假设在上有两个零点，则. 由得，故（）；而，矛盾！故假设不成立，从而原命题成立.10.已知是抛物线上一动点，设点.若以为为直径的圆与抛物线只有两个公共点，求该圆面积的取值范围.解：从反面考虑，如果以为为直径的圆与抛物线有异于的公共点，设，又易证，故，从而，故的方程为，与联立，消去得，即有根， （将视为主元），解得或.且易知此时满足.又该圆面积，设，则.当时，递增，；当时，递减，；故，即.从而若以为为直径的圆与抛物线只有两个公共点，则该圆面积的取值范围为.11.试求所有的正整数及实数，使得与均为有理数.解：由与均为有理数，故，由知，存在，使得，代入得，从而，故，设，由，即，由该方程有解，故，且，又，故或.当时，或；当时，.选题
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