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2.1.2 一般形式的柯西不等式一、选择题1.设a，b，c(0，)，且abc3，则的最小值为()A.9B.3C.D.1解析()2()2()2即(abc)32.又abc3，3，最小值为3.答案B2.已知aaa1，xxx1，则a1x1a2x2anxn的最大值为()A.1 B.n C. D.2解析由柯西不等式(aaa)(xxx)(a1x1a2x2anxn)2得11(a1x1a2x2anxn)2，a1x1a2x2anxn1.所求的最大值为1.答案A3.已知2x3y4z10，则x2y2z2取到最小值时的x，y，z的值为()A.， B.，C.1， D.1，解析x2y2z2，当且仅当时，等号成立，则4k9k16k29k10，解得k，选B.答案B二、填空题4.已知实数a，b，c，d，e满足abcde8，a2b2c2d2e216，则e的取值范围为_.解析4(a2b2c2d2)(1111)(a2b2c2d2)(abcd)2即4(16e2)(8e)2，即644e26416ee25e216e0，故0e.答案5.设a，b，c0且abcA(A为常数).则的最小值为_.解析.答案三、解答题6.已知实数a，b，c，d满足abcd3，a22b23c26d25，试求a的最值.解由柯西不等式得，有(2b23c26d2)(bcd)2，即2b23c26d2(bcd)2由条件可得，5a2(3a)2解得，1a2当且仅当时等号成立，代入b，c，d时，amax2.b1，c，d时，amin1.7.设a1a2anan1，求证：0.证明a1an1(a1a2)(a2a3)(anan1)，(a1a2)(a2a3)(anan1)()2n21.(a1an1)1.即，故0.8.设P是ABC内的一点，x，y，z是P到三边a，b，c的距离.R是ABC外接圆的半径，证明：.证明由柯西不等式得， .设S为ABC的面积，则axbycz2S2， ，故不等式成立.9.已知a0，b0，c0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4.(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值.解(1)因为f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，当且仅当axb时，等号成立.又a0，b0，所以|ab|ab.所以f(x)的最小值为abc.又已知f(x)的最小值为4，所以abc4.(2)由(1)知abc4，由柯西不等式，得(
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