高中数学第二章平面向量7向量应用举例课件北师大版必修41

7向量应用举例 第二章平面向量 学习目标1 了解直线法向量的概念 掌握点到直线的距离公式 2 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 力学问题及一些实际问题 3 进一步体会向量是一种处理几何问题 物理问题等的工具 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一直线l Ax By C 0的法向量 答案 类比直线的方向向量的定义 思考与直线l垂直的非零向量是否也是特殊向量 答案是 为直线的法向量 思考 1 与直线的方向向量的向量称为该直线的法向量 2 若直线l的方向向量v B A 则直线l的法向量n 与直线l的法向量n同向的单位向量 梳理 垂直 A B 知识点二点到直线的距离公式 思考 n为直线l的法向量 P为直线l上任一点 点M是平面内一定点且不在直线l上 那么点M到直线l的距离d与向量 n有怎样的关系 答案 答案点M到直线l的距离d即为向量在向量n方向上的射影的绝对值 即d 若M x0 y0 是平面上一定点 它到直线l Ax By C 0的距离d 梳理 知识点三向量方法解决平面几何问题 思考1 设a x1 y1 b x2 y2 a b的夹角为 答案 证明线段平行 点共线及相似问题 可用向量的哪些知识 答案可用向量共线的相关知识 a b a b x1y2 x2y1 0 b 0 答案 证明垂直问题 可用向量的哪些知识 答案可用向量垂直的相关知识 a b a b 0 x1x2 y1y2 0 思考2 1 平面几何图形的许多性质 如平移 全等 相似 长度 夹角等都可以由表示出来 2 向量方法解决平面几何问题的步骤 建立平面几何与向量的联系 用向量表示问题中涉及的几何元素 将平面几何问题转化为 通过 研究几何元素之间的关系 如距离 夹角等问题 把运算结果 成几何关系 梳理 向量的线性运算及数量积 向量问题 翻译 向量运算 知识点四向量方法解决物理问题 思考 向量的数量积与功有什么联系 答案 答案物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积 它的实质是向量的数量积 1 物理上力做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积 即W F s cos F s 功是一个实数 它可正可负 也可以为零 力做功涉及两个向量及这两个向量的夹角 它的实质是向量F与s的数量积 2 向量方法解决物理问题的步骤 问题转化 即把物理问题转化为数学问题 建立模型 即建立以向量为载体的数学模型 求解参数 即求向量的模 夹角 数量积等 回答问题 即把所得的数学结论回归到物理问题 梳理 题型探究 类型一平面向量在解析几何中的应用 例1已知 ABC的三个顶点A 0 4 B 4 0 C 6 2 点D E F分别为边BC CA AB的中点 1 求直线DE EF FD的方程 解由已知得点D 1 1 E 3 1 F 2 2 解答 2 x 1 2 y 1 0 即x y 2 0为直线DE的方程 同理可求 直线EF FD的方程分别为x 5y 8 0 x y 0 2 求AB边上的高线CH所在的直线方程 解设点N x y 是CH所在直线上任意一点 解答 4 x 6 4 y 2 0 即x y 4 0为所求直线CH的方程 利用向量法解决解析几何问题 首先将线段看成向量 再把坐标利用向量法则进行运算 反思与感悟 跟踪训练1在 ABC中 A 4 1 B 7 5 C 4 7 求 A的平分线所在的直线方程 A的平分线的一个方向向量为 解答 设P x y 是角平分线上的任意一点 A的平分线过点A 整理得7x y 29 0 例2已知在正方形ABCD中 E F分别是CD AD的中点 BE CF交于点P 求证 1 BE CF 类型二用平面向量求解平面几何问题 证明 证明建立如图所示的平面直角坐标系 设AB 2 则A 0 0 B 2 0 C 2 2 E 1 2 F 0 1 2 AP AB 证明 x 2 y 1 即x 2y 2 即AP AB 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 1 向量的线性运算法的四个步骤 选取基底 用基底表示相关向量 利用向量的线性运算或数量积找出相应关系 把几何问题向量化 2 向量的坐标运算法的四个步骤 建立适当的平面直角坐标系 把相关向量坐标化 用向量的坐标运算找出相应关系 把几何问题向量化 反思与感悟 跟踪训练2如图 在正方形ABCD中 P为对角线AC上任一点 PE AB PF BC 垂足分别为E F 连接DP EF 求证 DP EF 证明 证明方法一设正方形ABCD的边长为1 AE a 0 a 1 a a2 a 1 a 0 方法二如图 以A为原点 AB AD所在直线分别为x轴 y轴建立平面直角坐标系 设正方形ABCD的边长为1 例3已知两恒力F1 3 4 F2 6 5 作用于同一质点 使之由点A 20 15 移动到点B 7 0 1 求力F1 F2分别对质点所做的功 类型三向量在物理中的应用 解答 解 7 0 20 15 13 15 W1 F1 3 4 13 15 3 13 4 15 99 W2 F2 6 5 13 15 6 13 5 15 3 力F1 F2对质点所做的功分别为 99和 3 2 求力F1 F2的合力F对质点所做的功 解答 3 4 6 5 13 15 9 1 13 15 9 13 1 15 117 15 102 合力F对质点所做的功为 102 物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积 反思与感悟 跟踪训练3一个物体受到同一平面内的三个力F1 F2 F3的作用 沿北偏东45 的方向移动了8m 其中 F1 2N 方向为北偏东30 F2 4N 方向为北偏东60 F3 6N 方向为北偏西30 求合力F所做的功 解答 解以O为原点 正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系 如图所示 当堂训练 A 钝角三角形B 直角三角形C 锐角三角形D 不能确定 1 已知在 ABC中 若 a b 且a b 0 则 ABC的形状为 答案 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 答案 解析 2 过点A 2 3 且垂直于向量a 2 1 的直线方程为A 2x y 7 0B 2x y 7 0C x 2y 4 0D x 2y 4 0 即 x 2 2 y 3 1 0 即2x y 7 0 3 用两条成120 角的等长的绳子悬挂一个灯具 如图所示 已知灯具重10N 则每根绳子的拉力大小为 N 答案 2 3 4 5 1 解析 解析设重力为G 每根绳的拉力分别为F1 F2 则由题意得F1 F2与 G都成60 角 且 F1 F2 F1 F2 G 10N 每根绳子的拉力都为10N 10 2 3 4 5 1 4 已知一个物体在大小为6N的力F的作用下产生的位移s的大小为100m 且F与s的夹角为60 则力F所做的功W J 答案 解析 300 解析W F s F s cos F s 6 100 cos60 300 J 解答 5 一艘船从南岸出发 向北岸横渡 根据测量 这一天水流速度为3km h 方向正东 风的方向为北偏西30 受风力影响 静水中船的漂行速度为3km h 若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2km h的速度横渡 求船本身的速度大小及方向 2 3 4 5 1 解如图 设水的速度为v1 风的速度为v2 v1 v2 a 易求得a的方向是北偏东30 a的大小是3km h 设船的实际航行速度为v 方向由南向北 大小为2km h 船本身的速度为v3 则a v3 v 即v3 v a 由数形结合知 v3的方向是北偏西60 大小是km h 2 3 4 5 1 规律与方法 1 利用向量方法可以解决平面几何中的平行 垂直 夹角 距离等问题 利用向量解决平面几何问题时 有两种思路 一种思路是选择一组基底 利用基向量表示涉及的向量 一种思路是建立坐标系