高中数学 第二章 平面向量 2_3_1 平面向量基本定理课件 苏教版必修4

2 3 1平面向量基本定理 第2章 2 3向量的坐标表示 学习目标1 理解平面向量基本定理的内容 了解向量的一组基底的含义 2 在平面内 当一组基底选定后 会用这组基底来表示其他向量 3 会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一平面向量基本定理 思考1 如果e1 e2是两个不共线的确定向量 那么与e1 e2在同一平面内的任一向量a能否用e1 e2表示 依据是什么 答案能 依据是数乘向量和平行四边形法则 答案 思考2 如果e1 e2是共线向量 那么向量a能否用e1 e2表示 为什么 答案不一定 当a与e1共线时可以表示 否则不能表示 梳理 1 平面向量基本定理 如果e1 e2是同一平面内的两个向量 那么对于这一平面内的向量a 实数 1 2 使a 1e1 2e2 2 基底 的向量e1 e2叫做表示这一平面内向量的一组基底 所有 不共线 任一 有且只有一对 不共线 知识点二向量的正交分解 答案 思考 一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G 可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直作用于斜面的力F2 类比力的分解 平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示 答案能 互相垂直的两向量可以作为一组基底 梳理 正交分解的含义一个平面向量用一组基底e1 e2表示成a 的形式 我们称它为向量a的 当e1 e2所在直线互相时 这种分解也称为向量a的 正交分解 1e1 2e2 分解 垂直 题型探究 类型一对基底概念的理解 例1如果e1 e2是平面 内两个不共线的向量 那么下列说法中不正确的是 填序号 e1 e2 R 可以表示平面 内的所有向量 对于平面 内任一向量a 使a e1 e2的实数对 有无穷多个 若向量 1e1 1e2与 2e1 2e2共线 则有且只有一个实数 使得 1e1 1e2 2e1 2e2 若存在实数 使得 e1 e2 0 则 0 答案 解析 解析由平面向量基本定理可知 是正确的 对于 由平面向量基本定理可知 一旦一个平面的基底确定 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的 对于 当两向量的系数均为零 即 1 2 1 2 0时 这样的 有无数个 反思与感悟 考查两个向量是否能构成基底 主要看两向量是否非零且不共线 此外 一个平面的基底一旦确定 那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来 跟踪训练1e1 e2是表示平面内所有向量的一组基底 则下列各组向量中 不能作为一组基底的序号是 e1 e2 e1 e2 3e1 2e2 4e2 6e1 e1 2e2 e2 2e1 e2 e1 e2 答案 解析 解析由题意 知e1 e2不共线 易知 中 4e2 6e1 2 3e1 2e2 即3e1 2e2与4e2 6e1共线 不能作基底 类型二用基底表示向量 解答 解 四边形ABCD是平行四边形 E F分别是BC DC边上的中点 解答 引申探究 解取CF的中点G 连结EG E G分别为BC CF的中点 反思与感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种 一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化 直至能用基底表示为止 另一种是列向量方程组 利用基底表示向量的唯一性求解 解答 a b不共线 类型三平面向量基本定理的应用 解答 解方法一 基向量法 方法二 待定系数法 如图所示 连结MN并延长交AB的延长线于点T 反思与感悟 当直接利用基底表示向量比较困难时 可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式 然后利用已知条件及相关结论 从不同方向和角度表示出目标向量 一般需建立两个不同的向量表达式 再根据待定系数法确定系数 建立方程或方程组 解方程或方程组即得 解答 解将a e1 e2与b 3e1 2e2代入c a b 得c e1 e2 3e1 2e2 3 e1 2 e2 因为c 2e1 3e2 且向量e1 e2是平面 内所有向量的一组基底 跟踪训练3已知向量e1 e2是平面 内所有向量的一组基底 且a e1 e2 b 3e1 2e2 c 2e1 3e2 若c a b R 试求 的值 当堂训练 1 下列关于基底的说法中 正确的是 平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底 基底中的向量可以是零向量 平面内的基底一旦确定 该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的 1 2 3 4 5 解析零向量与任意向量共线 故零向量不能作为基底中的向量 故 错 正确 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 3 已知向量e1 e2不共线 实数x y满足 2x 3y e1 3x 4y e2 6e1 3e2 则x y 1 2 3 4 5 解析 向量e1 e2不共线 15 12 答案 解析 1 2 3 4 5 a b 2a c 答案 解析 解连结FD DC AB AB 2CD E F分别是DC AB的中点 DC綊FB 四边形DCBF为平行四边形 1 2 3 4 5 解答 1 对基底的理解 1 基底的特征基底具备两个主要特征 基底是两个不共线向量 基底的选择是不唯一的 平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件 2 零向量与任意向量共线 故不能作为基底 规律与方法 2 准确理解平面向量基本定理 1 平面向量基本定理的实质是向量的分解