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文档简介

练习3 5在有限维空间中 有A B两个相互对易的厄米算符 他们的全部线性无关的正交归一化矢量组分别为和 分别为本征值和的简并度 它们也可以等于1 1 证明是A和B的共同本征矢量 它们是否归一化 彼此是否正交 2 全部不为零的的总数是多少 它们是线性相关的还是线性无关的 虽然定理 当且仅当两个厄米算符互相对易时他们有一组共同的本征矢量完全集 但不一定说 就是 A B 的一组共同本征矢量 除非非简并 或 就是 A B 的一组共同本征矢量 除非非简并 例 对n 4维空间 简并 本征子空间 xoy 简并 本征子空间 zox 非简并 非简并 取法 或 是A B的共同本征矢取法 或 都不是A B的共同本征矢 1 是B的本征矢 数 oxoyoz 非简并 简并oxyz本征子空间 投影得到共3个 投影得到共6个 简并oxy本征子空间 证明是A B的共同本征矢证也是A的本征矢 Proof 数 0 下一步要证 对任意j 是B对应不同本征值的本征矢它们线性无关 关于j正交则同 矛盾 这种情况不可取 0符合 证组成完备系由的完备性 任一可按其展开 由的完备性 每一又可按展开 于是有 即任意可表为的迭加 这就证明了的完备性 对不同的j或i 彼此正交 但对不同的则可能线性相关 此外 它也并未归一化 全部不为0的的总数至少m个 超过m个肯定是线性相关 反之是m个 则线性无关 是幺正算符 因此 矩阵的行列式和迹均与表象的选择无关 故上式适用于任何表象 注 算符的表象变换是一种相似变换 若A B二矩阵相似 则 附 练习4 5在三维空间中 有矩阵A和B 1 证明A和B均为厄米矩阵 而且 2 分别求A和B的本征值和本征矢量 3 求A和B两算符的 归一化的 共同本征矢量集 4 求能使A和B都对角化的的幺正变换矩阵U 5 用U将A和B对角化 答案 1 证 略 2 A本征值本征矢B本征值本征矢
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