高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式 3.2.1.2 含参数的一元二次不等式及恒成立问题课件 北师大版必修5.ppt

第2课时含参数的一元二次不等式及恒成立问题 1 掌握一元二次不等式的解法 2 能够求解含参数的一元二次不等式和不等式恒成立问题 解一元二次不等式的步骤 1 对不等式变形 使一端为0 且二次项系数大于0 2 计算相应的判别式 b2 4ac 3 当 0时 求出相应的一元二次方程的两根 4 根据一元二次不等式解的结构 写出其解集 做一做1 若关于x的方程x2 mx 1 0有两个不相等的实数根 则实数m的取值范围是 a 1 1 b 2 2 c 2 2 d 1 1 解析 方程x2 mx 1 0有两个不相等的实根 m2 4 0 解得m2 答案 c 做一做2 不等式 4x2 1 4x的解集为 解析 原不等式可化为4x2 4x 1 0 即 2x 1 2 0 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一解含参数的一元二次不等式 例1 解关于x的不等式ax2 a 1 x 1 0 分析 参数a是否为零决定了方程的次数 参数a也导致方程的根的大小不确定 要进行分类讨论 题型一 题型二 题型三 题型四 反思解含参数的一元二次不等式要注意 1 当二次项系数不确定时 要分大于零 等于零 小于零三种情况进行讨论 2 当判别式大于零时 只需讨论两根的大小 3 当判别式不确定时 要分判别式大于零 等于零 小于零三种情况进行讨论 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 解关于x的不等式 x2 a a2 x a3 0 a r 解 原不等式可化为 x a x a2 0 当aa2 当a 0时 a2 a 解集为 x x 0 当0a 当a 1时 a2 a 解集为 x x 1 当a 1时 aa2 综上所述 当a1时 解集为 x xa2 当0a 当a 0时 解集为 x x 0 当a 1时 解集为 x x 1 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二不等式恒成立问题 例2 当a为何值时 不等式 a2 1 x2 a 1 x 1 0的解集是全体实数 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 已知不等式mx2 2x m 2 0 1 若对所有实数x不等式恒成立 求m的取值范围 2 设不等式对于满足 m 2的一切m的值都成立 求x的取值范围 分析 1 讨论m是否为零 可结合二次函数的图像求解 2 看做关于m的一次函数 利用其单调性求解 解 1 对所有实数x 都有不等式mx2 2x m 2 0恒成立 即函数f x mx2 2x m 2的图像全部在x轴下方 当m 0时 2x 2 0 显然对任意x不能恒成立 当m 0时 由二次函数的图像可知有 题型一 题型二 题型三 题型四 2 设g m x2 1 m 2x 2 它是一个以m为自变量的一次函数 由x2 1 0 知g m 在 2 2 上是增加的 故只需g 2 0即可 即2x2 2 2x 2 0 解得0 x 1 即x的取值范围是 0 1 题型一 题型二 题型三 题型四 题型三与二次不等式有关的新定义问题 例3 在r上定义运算 a b a 1 b 若不等式 x a x a 1对任意的实数x r恒成立 求实数a的取值范围 分析 先根据条件中的定义将问题转化 再根据 恒成立 求a的取值范围 反思求解新定义问题时 需先弄清新定义的含义 然后根据定义求解问题 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 在r上定义运算 a b ab 2a b 则满足x x 2 0的实数x的取值范围为 a 0 2 b 2 1 c 2 1 d 1 2 解析 根据给出的定义 得x x 2 x x 2 2x x 2 x2 x 2 x 2 x 1 又x x 2 0 则 x 2 x 1 0 故不等式的解集是 2 1 答案 b 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四易错辨析易错点 对参数讨论的结果求并集出错致误 例4 解关于x的不等式 x 2 ax 2 0 题型四 题型一 题型二 题型三 错因分析 此题讨论a的取值范围 求解x的取值范围 由于不是同一个变量 故不能取并集 而应该分5种情况下结论 题型四 题型一 题型二 题型三 1 2 3 4 5 1如果a x ax2 ax 1 0 那么实数a的取值范围为 a 0 4 b 0 4 c 0 4 d 0 4 解析 当a 0时 成立 综上所述0 a 4 答案 d 1 2 3 4 5 2关于x的不等式x2 2ax 8a20 的解集为 x1 x2 且x2 x1 15 则a等于 解析 由已知得x1 x2是方程x2 2ax 8a2 0的两根 则x1 x2 2a x1 x2 8a2 故选a 答案 a 1 2 3 4 5 3已知关于x的不等式x2 ax 2a 0在r上恒成立 则实数a的取值范围是 解析 将关于x的不等式x2 ax 2a 0在r上恒成立 转化为 0在r上恒成立 a 2 8a 0 解得0 a 8 答案 0 8 1 2 3 4 5 4已知x 1是不等式k2x2 6kx 8 0 k 0