高一数学上学期期末复习 专题04 初等函数（II）三角函数课件.ppt

专题04初等函数 ii 三角函数 一 基础知识整合 一 三角函数的概念1 任意角 1 角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置 到另一个位置所成的图形 我们规定 按 方向旋转形成的角叫做正角 按 方向旋转形成的角叫做负角 如果一条射线没有作任何旋转 我们称它形成了一个 2 象限角使角的顶点与原点重合 角的始边与x轴的 重合 角的终边在第几象限 就说这个角是第几象限角 是第一象限角可表示为 k z 是第二象限角可表示为 是第三象限角可表示为 是第四象限角可表示为 3 非象限角如果角的终边在 上 就认为这个角不属于任何一个象限 终边在x轴非负半轴上的角的集合可记作 2k k z 终边在x轴非正半轴上的角的集合可记作 终边在y轴非负半轴上的角的集合可记作 终边在y轴非正半轴上的角的集合可记作 终边在x轴上的角的集合可记作 终边在y轴上的角的集合可记作 终边在坐标轴上的角的集合可记作 4 终边相同的角所有与角 终边相同的角 连同角 在内 可构成一个集合s 2 弧度制 1 把长度等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角 用符号rad表示 读作弧度 l是半径为r的圆的圆心角 所对弧的长 2 弧度与角度的换算 360 rad 180 rad 1 rad 0 01745rad 反过来1rad 57 30 57 18 3 若圆心角 用弧度制表示 则弧长公式l 扇形面积公式s扇 3 任意角的三角函数 1 任意角的三角函数的定义设 是一个任意角 它的终边上任意一点p x y 与原点的距离为r r 0 则sin cos tan x 0 2 三角函数值在各象限的符号 4 三角函数线如图 角 的终边与单位圆交于点p 过点p作x轴的垂线 垂足为m 过点a 1 0 作单位圆的切线 设它与 的终边 当 为第一 四象限角时 或其反向延长线 当 为第二 三象限角时 相交于点t 根据三角函数的定义 有om x mp y at 像om mp at这种被看作带有方向的线段 叫做有向线段 这三条与单位圆有关的有向线段mp om at 分别叫做角 的 统称为三角函数线 5 特殊角的三角函数值 二 三角函数的诱导公式1 诱导公式的内容 2 诱导公式的规律 三角函数的诱导公式可概括为 奇变偶不变 符号看象限 其中 奇变偶不变 中的奇 偶分别是指的奇数倍和偶数倍 变与不变是指函数名称的变化 若是奇数倍 则正 余弦互变 正 余切互变 若是偶数倍 则函数名称 符号看象限 是把 当成 时 原三角函数式中的角 所在 原三角函数值的符号 注意 把 当成锐角是指 不一定是锐角 如sin 360 120 sin120 sin 270 120 cos120 此时把120 当成了锐角来处理 原三角函数 是指等号左边的函数 3 sin cos sin cos sin cos 三者之间的关系 sin cos 2 sin cos 2 sin cos 2 sin cos 2 sin cos 2 sin cos 2 三 三角函数图象和性质 1 五点法 作图 1 在确定正弦函数y sinx在 0 2 上的图象形状时 起关键作用的五个点是 2 在确定余弦函数y cosx在 0 2 上的图象形状时 起关键作用的五个点是 2 周期函数的定义对于函数f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的每一个值时 都有 那么函数f x 就叫做周期函数 非零常数t叫做这个函数的周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个最小的正数 那么这个最小正数就叫做f x 的 3 三角函数的图象和性质 四 三角函数图象变换1 用五点法画y asin x 在一个周期内的简图用五点法画y asin x 在一个周期内的简图时 要找五个特征点 如下表所示 3 函数y asin x a 0 0 的物理意义简谐运动的图象所对应的函数解析式y asin x x 0 其中a 0 0 在物理中 描述简谐运动的物理量 如振幅 周期和频率等都与这个解析式中的常数有关 a就是这个简谐运动的振幅 它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离 这个简谐运动的周期是t 这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间 这个简谐运动的频率由公式f t 1 给出 它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数 x 称为相位 x 时的相位 称为初相 二 热点题型展示 类型一角的概念与扇形的弧长与面积问题 名师点睛 1 要注意锐角与第一象限角的区别 锐角的集合仅是第一象限角的集合的一个真子集 即锐角是第一象限角 但第一象限角不一定是锐角 2 在同一个式子中 采用的度量制必须一致 不可混用 如 2k 30 k z k 360 2 k z 的写法都是不规范的 3 扇形的弧长与面积问题 直接用公式l r可求弧长 利用s弓 s扇 s 可求弓形面积 关于扇形的弧长公式和面积公式有角度制与弧度制这两种形式 其中弧度制不仅形式易记 而且好用 在使用时要注意把角度都换成弧度 使度量单位一致 弧长 面积是实际应用中经常遇到的两个量 应切实掌握好其公式并能熟练运用 类型二三角函数的定义与三角函数线 名师点睛 1 三角函数线是任意角的三角函数的几何表示 利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三角函数值的符号及大小 并能从任意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规律 在求三角函数的定义域 解三角不等式 证明三角不等式等方面 三角函数线具有独特的简便性 已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况 2 牢记各象限三角函数值的符号 在计算或化简三角函数关系时 要注意对角的范围以及三角函数值的正负进行讨论 3 已知角的终边上一点的坐标可利用三角函数的定义求三角函数值 若含有参数 则要注意对可能情况进行分类讨论 4 在解简单的三角不等式时 利用单位圆及三角函数线 常使问题变的简单 1 2015福建高考 若 且为第四象限角 则的值等于 答案 d 类型三同角三角函数的基本关系及诱导公式 名师点睛 1 诱导公式用角度制和弧度制表示都可 运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取 2 已知一个角的某一个三角函数值 求这个角的其他三角函数值 这类问题用同角三角函数的基本关系式求解 一般分为三种情况 1 一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在的位置都是已知的 此类情况只有一组解 2 一个角的某一个三角函数值是已知的 但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出 解答这类问题 首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置 然后分不同的情况求解 3 一个角的某一个三角函数值是用字母给出的 此类情况须对字母进行讨论 并注意适当选取分类标准 一般有两组解 3 计算 化简三角函数式常用技巧 1 减少不同名的三角函数 或化切为弦 或化弦为切 如涉及sin cos 的齐次分式问题 常采用分子分母同除以cosn n n 这样可以将被求式化为关于tan 的式子 2 巧用 1 进行变形 如1 sin2 cos2 tan cot tan45 sec2 tan2 等 3 平方关系式需开方时 应慎重考虑符号的选取 4 熟悉sin cos sin cos sin cos 三者之间的内在联系 利用 sin cos 2 1 2sin cos 进行和积转换 可知一求二 1 2015全国1 真题再现 类型四三角函数的图象与性质 名师点睛 1 求三角函数的定义域 常常归结为解三角不等式 或等式 经常借助两个工具 即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象 有时也利用数轴 对于较为复杂的求三角函数的定义域问题 应先列出不等式 组 分别求解 然后利用数轴或三角函数线求交集 2 求三角函数的值域 最值 时 代数中求值域 最值 的方法均适用 注意三角函数的取值范围 换元法 注意换元后的范围变化 判别式法 不等式法等 对于形如y asin x b 或y acos x b 可直接求出 x 在区间的范围 然后根据单调性求解 3 求三角函数的周期 通常应将函数式化为只有一个函数名 且角度唯一 最高次数为一次的形式 然后借助于常见三角函数的周期来求解 注意带绝对值的三角函数的周期是否减半 可用图象法判定 y cosx 的图象即是将y cosx的图象在x轴下方部分翻折到x轴的上方去 4 判断三角函数奇偶性时 必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间 如果是 再验证f x 是否等于 f x 或f x 进而判断函数的奇偶性 如果不是 则该函数必为非奇非偶函数 另外 对较复杂的解析式 可选择先化简再判断 也可直接用 x取代x 再化简判断 还可利用f x f x 0是否成立来判断其奇偶性 5 三角函数的单调性 三角函数单调区间的确定 一般先将函数式化为基本三角函数标准式 然后通过同解变形或利用数形结合方法求解 利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小 必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内 不属于的 可先化至同一单调区间内 若不是同名三角函数 则应考虑化为同名三角函数或用差值法 例如与0比较 与1比较等 求解 若函数y sin x 中 0 可用诱导公式将函数变为y sin x 的形式 目的是将x的系数变为正 将 x 视为一个整体 那么y sin x 的增区间为y sin x 的减区间 其减区间为y sin x 的增区间 对于函数y cos x y tan x 0 等的单调性的讨论同上 6 三角函数的对称性 解此类选择题最快捷的方式往往是代入验证法 对于函数f x asin x b 如果求f x 图象的对称轴 只需解方程sin x 1 也就是令 x 2 k k z 求x 如果求f x 图象的对称中心 只需解方程sin x 0 也就是令 x k k z 求x 对于较复杂的三角函数表达式 有时可以通过恒等变换为 的情形 类型五三角函数图象的变换 名师点睛 1 根据y asin x x r的图象求解析式的步骤 1 首先确定振幅和周期 从而得到a与 a为离开平衡位置的最大距离 即最大值与最小值的差的一半 由周期得到 函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值 且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期 函数图象与x轴的交点是其