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椭圆中的弦长问题进阶练习一、选择题.已知直线，当变化时，此直线被椭圆 截得的最大弦长是（ ）.若直线过抛物线的焦点，与抛物线交于、两点，且线段中点的横坐标为，则弦的长为 （ ）.设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且：，则的面积为().二、解答题. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上上一点到两焦点 、 的距离之和为，且该椭圆的离心率为 （）求椭圆的标准方程； （）若直线： 交椭圆于不同两点、，且满足 （为原点）， 求直线的方程.设椭圆的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，一个顶点为（，），右焦点到点的距离为 （）求椭圆的方程； （）设经过点（，）的直线与椭圆相交于不同两点，满足，试求直线的方程参考答案.解：（） ， （） .解：（）依题意，设椭圆方程为， 则其右焦点坐标为， 由，得， 即，故 又， 所求椭圆方程为 （）由题意可设直线的方程为（）， 由，知点在线段的垂直平分线上， 由得（） 即（） （）（） 即时方程有两个不相等的实数根 设（，），（，），线段的中点（，） 则，是方程的两个不等的实根，故有 从而有， 于是，可得线段的中点的坐标为 又由于，因此直线的斜率为 由，得 即，解得， 所求直线的方程为：. 本题主要考查直线与椭圆的位置关系. 解：直线恒过定点(，)，且是椭圆的短轴上顶点， 因而此直线被椭圆截得的弦长，即为点与椭圆上任意一点的距离， 设椭圆上任意一点(，)()()当时，故选. . 解：因为抛物线为， 所以设、两点横坐标分别为， 因为线段中点的横坐标为， 则，即， 故 . 解：， 可设， 由题意可知， ， ， ， 是直角三角形， 其面积 故选 . 本题主要考查椭圆的应用，熟悉直线与椭圆的关系是解答本题的关键，是高考中常见的题型，属于中档题. （）由题意得，直接运用椭圆的标准方程的应用即可求解； （）由题意得，直接运用直线与椭圆的关系即可求出答案. . （）设出椭圆的标准方程，由右焦点到点的距离为列式求出的值，结合和求椭圆的标准方程； （）设出直线的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出两交点、的坐标和，从而求出线段的中点的坐标，由，知点在线段的垂直平分线上，由两点式写出的斜率，利用和垂直，斜率之积等于求直线的斜率，则方程可求 本题考查了椭圆
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