二项分布及泊松分布.ppt

二项分布 例1设生男孩的概率为p 生女孩的概率为q 1 p 令X表示随机抽查出生的4个婴儿中 男孩 的个数 一 我们来求X的概率分布 X的概率函数是 男 女 X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数 生男孩的概率为p X可取值0 1 2 3 4 例2将一枚均匀骰子抛掷10次 令X表示3次中出现 4 点的次数 X的概率函数是 不难求得 掷骰子 掷出4点 未掷出4点 一般地 设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果 A或 或者形象地把两个互逆结果叫做 成功 和 失败 新生儿 是男孩 是女孩 抽验产品 是正品 是次品 这样的n次独立重复试验称作n重贝努利试验 简称贝努利试验或贝努利概型 再设我们重复地进行n次独立试验 重复 是指这次试验中各次试验条件相同 每次试验成功的概率都是p 失败的概率都是q 1 p 用X表示n重贝努利试验中事件A 成功 出现的次数 则 2 不难验证 1 称r vX服从参数为n和p的二项分布 记作 X B n p 当n 1时 P X k pk 1 p 1 k k 0 1称X服从0 1分布 例3已知100个产品中有5个次品 现从中有放回地取3次 每次任取1个 求在所取的3个中恰有2个次品的概率 解 因为这是有放回地取3次 因此这3次试验的条件完全相同且独立 它是贝努利试验 依题意 每次试验取到次品的概率为0 05 设X为所取的3个中的次品数 于是 所求概率为 注 若将本例中的 有放回 改为 无放回 那么各次试验条件就不同了 不是贝努里概型 此时 只能用古典概型求解 二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 成功 次数X的概率分布 可以简单地说 例4某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0 2 求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率 解 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 X B 3 0 8 把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验 使用到1000小时已坏 视为 成功 每次试验 成功 的概率为0 8 P X1 P X 0 P X 1 0 2 3 3 0 8 0 2 2 0 104 对于固定n及p 当k增加时 概率P X k 先是随之增加直至达到最大值 随后单调减少 当 n 1 p不为整数时 二项概率P X k 在k n 1 p 达到最大值 x 表示不超过x的最大整数 对于固定n及p 当k增加时 概率P X k 先是随之增加直至达到最大值 随后单调减少 当 n 1 p为整数时 二项概率P X k 在k n 1 p和k n 1 p 1处达到最大值 想观看二项分布的图形随参数n p的具体变化 请看演示 二项分布 例5为保证设备正常工作 需要配备适量的维修工人 设共有300台设备 每台的工作相互独立 发生故障的概率都是0 01 若在通常的情况下 一台设备的故障可由一人来处理 问 1 若只配备一名工人 则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少 2 若配备两名工人 则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少 3 若使设备发生故障时不能及时维修的概率小于0 01 至少应配备多少工人 我们先对题目进行分析 300台设备 独立工作 出故障概率都是0 01 一台设备故障一人来处理 设X为300台设备同时发生故障的台数 300台设备 独立工作 每台出故障概率p 0 01 可看作n 300的贝努利概型 X B n p n 300 p 0 01 可见 若只配备一名工人 那么只要同时发生故障的设备的台数X大于1 其中的X 1台设备就会得不到及时维修 即所求为 问 1 若只配备一名工人 则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少 同理 若只配备两名工人 那么只要同时发生故障的设备的台数X大于2即可 所求为 300台设备 独立工作 出故障概率都是0 01 一台设备故障一人来处理 问 3 需配备多少工人 若使设备发生故障时不能及时维修的概率小于0 01 设X为300台设备同时发生故障的台数 X B n p n 300 p 0 01 设需配备N个工人 所求的是满足 的最小的N P X N 0 01或P XN 0 99 下面给出正式求解过程 由此结果知 配备一名工人 设备发生故障而不能及时维修的概率很大 故配备一名工人不合理 可见 配备两名工人 设备发生故障而不能及时维修的概率仍然很大 故配备两名工人仍不合理 3 设需配备N个维修工人 使得设备发生故障而不能及时维修的概率小于0 01 有 P X N 通过计算可知 则要使设备发生故障而不能及时维修的概率小于0 01 只需配备8名工人 平均每人负责38台 若将该例改为 1 若由一人负责20台设备 求这20台设备发生故障而不能及时维修的概率 解 1 设随机变量X表示20台设备在同一时刻发生故障的台数 则 2 若由3人共同负责维修80台设备 求这80台设备发生故障而不能及时维修的概率 解 设随机变量X表示80台设备在同一时刻发生故障的台数 则 由 1 2 结果 可看出后者的管理经济效益要好得多 例6某人去一服务单位办事 排队等候的时间 分钟 为一随机变量 设其概率密度为 若此人等候时间超过15分钟则愤然离去 假设此人一个月要到该服务单位办事10次 则 1 此人恰好有2次愤然离去的概率 2 此人至少有2次愤然离去的概率 3 此人多数会愤然离去的概率 解 设随机变量Y表示 此人来服务单位办事10次中愤然离去的次数 则 1 此人恰好有2次愤然离去的概率 2 此人至少有2次愤然离去的概率 3 此人多数会愤然离去的概率 二 二项分布的泊松近似 我们先来介绍二项分布的泊松近似 下一讲中 我们将介绍二项分布的正态近似 或诸如此类的计算问题 必须寻求近似方法 当试验次数n很大时 计算二项概率变得很麻烦 若要计算 定理的条件意味着当n很大时 p必定很小 因此 泊松定理表明 当n很大 p很小时有以下近似式 其中 证明见下一页 证明 n100 np10时近似效果就很好 请看演示 二项分布的泊松近似 实际计算中 其中 例5为保证设备正常工作 需要配备适量的维修工人 设共有300台设备 每台的工作相互独立 发生故障的概率都是0 01 若在通常的情况下 一台设备的故障可由一人来处理 问 1 若只配备一名工人 则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少 2 若配备两名工人 则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少 解 设X为300台设备同时发生故障的台数 X B n p n 300 10 p 0 01 0 1 3 若使设备发生故障时不能及时维修的概率小于0 01 至少应配备多