2.3.4圆与圆的位置关系.doc

2.3.4圆与圆的位置关系课程学习目标课程目标目标重点：两圆位置关系的判断.目标难点：通过两圆方程联立方程组的解来研究两圆位置关系.学法关键1从几何角度去分析圆与圆的位置关系. 两圆的位置关系有五种，在判断两圆的位置关系时，还是用几何法从圆的几何性质（即利用圆心距和两圆半径的关系）出发为好，一方面较为简洁，另一方面若从代数法去判断两圆相切时，不管两圆是外切还是内切，由两圆的方程所组成的方程组都只有一组解，很难判断出是外切还是内切.2几何法判断两圆位置关系的步骤：计算两圆的半径，r1，r2；计算两圆的圆心距d；根据d与r1，r2之间的关系，判断两圆的位置关系，体会其中的算法思想.要熟悉圆系方程在解题时的运用，利用圆系方程可达到简化运算的目的.研习点1两圆的位置关系平面上两圆的位置关系有五种：（1）两圆外离：如图，两圆没有公共点.（2）两圆外切：如图，两圆有且仅有一个公共点.（3）两圆相交：如图，两圆有两个公共点.（4）两圆内切：如图，两圆有一个公共点（5）两圆内含：如图，两圆没有公共点研习点2. 两圆位置关系的判断已知圆C1：(xa)2+(yb)2=r12与圆C2：(xc)2+(yd)2=r22，它们的位置关系有三种判断方法：两个圆的位置关系有：外离、外切、相交、内切、内含.（1）用平面几何法判断这五种位置关系的步骤：第一步：计算两圆的半径r1，r2；第二步：计算两圆的圆心距d；第三步：根据d与r1，r2之间的关系，判断两圆的位置关系.（2）平面几何法判断圆与圆的位置关系公式：两圆的方程分别为C1：(xx1)2+(yy1)2=r12，C2：(xx2)2+(yy2)2=r22.两圆外离r1+r2d；两圆外切r1+r2=d；两圆相交|r1r2|dd.（3）代数法判断圆与圆的位置关系：将两个圆方程联立，消去其中的一个未知数y或x，得关于x或y的一元二次方程.若方程中0，则两圆相交；若方程中=0，则两圆相切；若方程中0，两圆外离或内含.（此方法仅用于判断两个圆的位置关系，不适用于其他的二次曲线的位置关系的判断问题）题型1两圆位置关系的判定例1判断下列两个圆的位置关系：（1）C1：x2+y26x=0+y2+，C2：x2+y2+8y+12=0；（2）C1：x2+y22x+4y=0+y2+，C2：x2+y22y6=0；解：（1）已知两圆方程可分别变形为(x3)2+y2=32，x2+(y+4)2=22 .由此可知圆心C1的坐标为(3，0)，半径r1=3；圆心C2的坐标为(0，4)，半径r2=2.所以两圆的圆心距为d=|C1C2|=5，r1+r2=5，因此两圆外切.（2）已知两圆方程可分别变形为(x1)2+(y+2)2=5，x2+(y1)2=7.由此可知圆心C1的坐标为(1，2)，半径为r1=.圆心C2的坐标为(0，1)，半径为.则两圆的圆心距d=|C1C2|=，因为，所以两圆相交于两点.例2已知圆C1：x2+y210x10y=0和圆C2：x2+y2+6x+2y40=0相交于A、B两点，求公共弦AB的长.解法一：由两圆的方程相减，消去二次项得到一个二元一次方程，此方程即为公共弦AB所在的直线方程，4x+3y=10由，解得或，所以两点的坐标分别是A(2，6)、B(4，2).故|AB|=.解法二：同解法一，先求出公共弦所在直线的方程：4x+3y=10. 过C1作C1DAB于D. 圆C1的圆心C1(5，5)，半径)r1=5，则|C1D|=.所以AB=2|AD|=.例3已知圆C与圆C1：x2+y22x=0+y2+相外切，并且与直线l：x+y=0相切于点P(3，)，求此圆C的方程. 解：设所求圆的圆心为C(a，b)，半径长为r. 因为C(a，b)在过点P且与l垂直的直线上，所以 .又因为圆C与l相切于点P，所以 因为圆C与圆C1相外切，所以 由得ab4=0将其代入得，解得或，此时r=2或r=6,所以所求圆C的方程为(x4)2+y2=4，或x2+(y+4)2=36 .例4已知圆C1：x2+y22mx+m2=4和圆C2：x2+y2+2x4my=84m2相交，求实数m的取值范围.解：由题意得C1(m，0)，C2(1，2m)，r1=2，r2=3，而两圆相交，有|r1r2|C1C2|r1+r2，即1(m+1)2+4m20)，若MN=N，则r的取值范围是（ C ） （A） （B） （C） （D）4圆x2+y2=1和圆(x1)2+(y1)2=1的公共弦长为 .例5求证：到圆心距离为a (a0)的两个相离定圆的切线长相等的点的轨迹是直线.解：如图所示，建立平面直角坐标系，设圆O以原点O为圆心，r为半径，圆A以点A(a，0)为圆心，半径为R. 过点P(x，y)的直线PB与圆O相切于点B，直线PC与圆A相切于点C，且PB=PC.圆O的方程为x2+y2=r2 ，圆A的方程为(xa)2+y2=R2.因为PB=PC，所以PB2=PC2，由PO2OB2=PA2AC2，即x2+y2r2=(xa)2+y2R2，得x=(a0).这就是点P的轨迹方程，它表示一条垂直于x轴的直线例6已知圆C1：x2+y24x2y5=0与圆C2：x2+y26xy9=0.（1）求证两圆相交；（2）求两圆公共弦所在的直线方程；（3）在平面上找一点P，过P点引两圆的切线并使它们的长都等于6.解：（1）圆C1：(x2)2+(y1)2=10，圆C2：(x3)2+(y)2=，因为两圆心距|C1C2|=.所以圆C1与圆C2相交；（2）联立两圆方程，两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程：2xy+4=0.（3）设P(x，y)，依题意得：,解方程组得点P(3，10)或.6两圆x2+y2=r2与(x3)2+(y+1)2=r2外切，则r是（ B ） （A） （B） （C） （D）57半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2+(y3)2=1内切，则此圆的方程是（ D ）（A）(x4)2+(y6)2=6 （B）(x4)2+(y6)2=6 （C）(x4)2+(y6)2=36 （D）(x4)2+(y6)2=368若圆：x2+y22ax+a2=2和：x2+y22by+b2=1外离，则a、b