（试题 试卷 真题）定点、定值与存在性问题

定点、定值与存在性问题(推荐时间：60分钟)1 过抛物线x24y上不同两点A，B分别作抛物线的切线相交于点P(x0，y0)，0.(1)求y0；(2)求证：直线AB恒过定点；(3)设(2)中直线AB恒过的定点为F，若20恒成立，求的值(1)解设A，B(x1x2)由x24y得，y，所以kPA，kPB，因为0，所以，所以kPAkPB1，即x1x24.直线PA的方程为y(xx1)，即y，同理直线PB的方程为y，由消去x得y01(x1，x2R)(2)证明设直线AB的方程为ykxb，代入抛物线方程x24y，得x24kx4b0，由根与系数的关系得x1x24b，由(1)知x1x24，所以b1，所以直线AB的方程为ykx1，不论k取何值，该直线恒过点(0,1)(3)解由(1)得：，P，x1x24.x1x22，242.所以20.故1.2 设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆C：1(ab0)上两点已知m，n，若mn0且椭圆的离心率e，短轴长为2，O为坐标原点(1)求椭圆的方程；(2)试问AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由解(1)2b2，b1，e.a2，c.椭圆的方程为x21.(2)当直线AB斜率不存在时，即x1x2，y1y2，由mn0得x0y4x.又A(x1，y1)在椭圆上，所以x1，|x1|，|y1|，S|x1|y1y2|x1|2|y1|1.当直线AB斜率存在时，设AB的方程为ykxb(其中b0)，代入x21，得：(k24)x22kbxb240.有(2kb)24(k24)(b24)16(k2b24)x1x2，x1x2，由已知mn0得x1x20x1x20，代入整理得2b2k24，代入中可得b20满足题意，S|AB|b|1.所以ABC的面积为定值1.3 如图，椭圆E：1(ab0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：ykxm与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由解(1)因为|AB|AF2|BF2|8，即|AF1|F1B|AF2|BF2|8，又|AF1|AF2|BF1|BF2|2a，所以4a8，a2.又因为e，即，所以c1，所以b.故椭圆E的方程是1.(2)由得(4k23)x28kmx4m2120.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m0且0，即64k2m24(4k23)(4m212)0，化简得4k2m230.此时x0，y0kx0m，所以P.由得Q(4,4km)假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上设M(x1,0)，则0对满足式的m，k恒成立因为，(4x1,4km)，由0，得4x1x30，整理，得(4x14)x4x130.由于式对满足式的m，k恒成立，所以解得x11.故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.4 如图，抛物线C1：y24x的焦准距(焦点到准线的距离)与椭圆C2：1(ab0)的长半轴相等，设椭圆的右顶点为A，C1、C2在第一象限的交点为B，O为坐标原点，且OAB的面积为.(1)求椭圆C2的标准方程；(2)过A点作直线l交C1于C、D两点，射线OC、OD分别交C2于E、F两点求证：O点在以EF为直径的圆的内部；记OEF，OCD的面积分别为S1，S2，问是否存在直线l，使得S23S1？请说明理由解(1)因为y24x，所以焦准距p2，由抛物线C1与椭圆C2的长半轴相等知a2.因为SOAB|OA|yB，所以yB，代入抛物线方程求得B，又B点在椭圆上，代入椭圆方程解得b23.故椭圆C2的标准方程是：1.(2)因为直线l不垂直于y轴，故设直线l的方程为xmy2，由得：y24my80.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，故y1y24m，y1y28，故x1x24.故x1x2y1y248490，又EOFCO