高三数学 知识点精析精练22 空间的角.doc

2014高三数学知识点精析精练22：空间的角【复习要点】空间角的计算步骤：一作、二证、三算1.异面直线所成的角 范围：090方法：平移法；补形法.2.直线与平面所成的角 范围：090方法：关键是作垂线，找射影.3.二面角方法：定义法；三垂线定理及其逆定理；垂面法.注：二面角的计算也可利用射影面积公式s=scos来计算【例题】【例1】 如图，l为60的二面角，等腰直角三角形mpn的直角顶点p在l上，m,n,且mp与所成的角等于np与所成的角. (1)求证：mn分别与、所成角相等；(2)求mn与所成角.解：(1)证明：作na于a，mb于b,连接ap、pb、bn、am，再作acl于c，bdl于d，连接nc、md.na,mb,mpb、npa分别是mp与所成角及np与所成角，mnb，nma分别是mn与,所成角，mpb=npa.在rtmpb与rtnpa中，pm=pn，mpb=npa，mpbnpa，mb=na.在rtmnb与rtnma中，mb=na，mn是公共边，mnbnma，mnb=nma，即(1)结论成立.(2)解：设mnb=,mn=a,则pb=pn=a,mb=na=asin，nb=acos,mb,bdl,mdl,mdb是二面角l的平面角，mdb=60，同理nca=60,bd=ac=asin,cn=dm=asin,mb，mppn，bppnbpn=90,dpb=cnp,bpdpnc,整理得，16sin416sin2+3=0解得sin2=,sin=，当sin=时，cn=asin= apn不合理，舍去.sin=,mn与所成角为30.【例2】 在棱长为a的正方体abcdabcd中，e、f分别是bc、ad的中点.(1)求证：四边形bedf是菱形；(2)求直线ac与de所成的角；(3)求直线ad与平面bedf所成的角；(4)求面bedf与面abcd所成的角.解： (1)证明：如上图所示，由勾股定理，得be=ed=df=fb=a,下证b、e、d、f四点共面，取ad中点g，连结ag、eg，由egabab知，bega是平行四边形.beag,又af dg,agdf为平行四边形.agfd，b、e、d、f四点共面故四边形bedf是菱形. (2)解：如图所示，在平面abcd内，过c作cpde，交直线ad于p，则acp(或补角)为异面直线ac与de所成的角.在acp中，易得ac=a，cp=de=a,ap=a由余弦定理得cosacp=故ac与de所成角为arccos. (3)解：ade=adf,ad在平面bedf内的射影在edf的平分线上.如下图所示.又bedf为菱形，db为edf的平分线，故直线ad与平面bedf所成的角为adb在rtbad中，ad=a，ab=a,bd=a则cosadb=故ad与平面bedf所成的角是arccos.(4)解：如图，连结ef、bd，交于o点，显然o为bd的中点，从而o为正方形abcdabcd的中心.作oh平面abcd，则h为正方形abcd的中心，再作hmde，垂足为m，连结om，则omde，故omh为二面角bdea的平面角.在rtdoe中，oe=a,od=a,斜边de=a,则由面积关系得om=a在rtohm中，sinomh=故面bedf与面abcd所成的角为arcsin.【例3】 如下图，已知平行六面体abcda1b1c1d1中，底面abcd是边长为a的正方形，侧棱aa1长为b,且aa1与ab、ad的夹角都是120.求：(1)ac1的长；(2)直线bd1与ac所成的角的余弦值.bd1与ac所成角的余弦值为.【例4】 长方体中，是侧棱中点（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求二面角的大小；（3）求三棱锥的体积解：（1）要求线面所成角，首先需要找到这个角，为此，我们应该先作出面的一条垂线不难发现，正为所求由长方体知：，又，所以，在矩形中，为中点且，所以，所以，为等腰直角三角形，所以，面所以，就是直线与平面所成的角，为（2）要作出二面角的平面角，一般的思路是最好能找到其中一个面的一条垂线，则可利用三垂线定理（或逆定理）将其作出注意到，所以，面，所以，只需在内过点作于f，则面过作于g，连eg，则就是二面角的平面角在中，所以，在中，在中，所以，二面角的平面角的大小为（3）要求三棱锥的体积，注意到（2）中已经求出了点到平面的距离ef所以，另一方面，也可以利用等积转化因为，所以，所以，点a到平的距离就等于点到平的距离所以，【例5】 如图，已知面，于d，。（1）令，试把表示为的函数，并求其最大值；（2）在直线pa上是否存在一点q，使得？解：（1）为寻求与的关系，首先可以将转化为。 面，于d， 。 。 为在面上的射影。 ，即。 。即的最大值为，等号当且仅当时取得。（2）由正切函数的单调性可知：点q的存在性等价于：是否存在点q使得。令，解得：，与交集非空。 满足条件的点q存在。【例6】 如图所示：正四棱锥中，侧棱与底面所成角的正切值为。（1）求侧面与底面所成二面角的大小；（2）若e是pb中点，求异面直线pd与ae所成角的正切值；（3）在侧面上寻找一点f，使得ef侧面pbc。试确定点f的位置，并加以证明。解：（1）连交于点，连po，则po面abcd， pao就是与底面所成的角， tanpao=。设ab=1，则po=aotanpao = 。设f为ad中点，连fo、po，则ofad，所以，pfad，所以，就是侧面与底面所成二面角的平面角。在rt中， 。即面与底面所成二面角的大小为（2）由（1）的作法可知：o为bd中点，又因为e为pd中点，所以，。就是异面直线pd与ae所成的角。在rt中，。 。由，可知：面。所以，。在rt中，。异面直线pd与ae所成的角为。（3）对于这一类探索性的问题，作为一种探索，我们首先可以将条件放宽一些，即先找到面的一条垂线，然后再平移到点e即可。为了达到上述目的，我们可以从考虑面面垂直入手，不难发现：。延长交于点，连接。设为中点，连接。 四棱锥为正四棱锥且为中点，所以，为中点， ，。 。 面。 ， 为正三角形。 ， 。取af中点为k，连ek，则由及得四边形为平行四边形，所以，。【例7】 rtabc中，ac=bc=1，bca=90，现将abc沿着平面abc的法向量平移到a1b1c1位置，已知aa1=2，分别取a1b1、a1a的中点p、q，（1）求的长；（2）求证：ab1c1p；（3）求cos，cos，并比较，与，的大小.解：以c为原点，建立如图空间直角坐标系o-xyz，（1）=（1，-1，1）， | | =（2）=（-1，1，3），=（，0）=（-1）+1+20=0，即（3）=（0，1，2），=（1，-1，2），cos，=，同理，cos，=01，（0，），【例8】 如图：直三棱柱中，。为的中点，点在上且.（）求证：；（）求二面角的大小.解：1）证：依题意知， 且 为的中点，则 也为中点 又三棱柱为直三棱柱又 且 、故 . 2）解：由1）知，在中过作交于，连，由三垂线定理有为所求二面角得平面角 易知，在中，故 在中 故所求二面角的大小为. 【例9】 如图，在多面体中，面，且，为中点（1）求证：面；（2）求多面体的体积；（3）求面与面所成的二面角的余弦值 解：（1）取中点，连，面，面，又面，又，是中点，平面，是的中点且，且，又，故四边形是平行四边形，从而，面（2）设中点为，则由可得且，又，与共面，又面，故平面平面，平面，即为四棱锥的高故（3）过作于,连接,由三垂线定理的逆定理得,为二面角的平面角. 易知,由,可得,在中, ,故,面与面所成的二面角的余弦值为 【空间的角练习】一、选择题1在正方体abcda1b1c1d1中，m为dd1的中点，o为底面abcd的中心，p为棱a1b1上任意一点，则直线op与直线am所成的角是( )a.b.c.d.2设abc和dbc所在两平面互相垂直，且ab=bc=bd=a,cba=cbd=120,则ad与平面bcd所成的角为( )a.30b.45c.60d.75二、填空题3已知aob=90,过o点引aob所在平面的斜线oc，与oa、ob分别成45、60，则以oc为棱的二面角aocb的余弦值等于_.4正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为23,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_.三、解答题5，已知四边形abcd为直角梯形，adbc，abc=90,pa平面ac，且pa=ad=ab=1,bc=2(1)求pc的长；(2)求异面直线pc与bd所成角的余弦值的大小；(3)求证：二面角bpcd为直二面角.6设abc和dbc所在的两个平面互相垂直，且ab=bc=bd，abc=dbc=120求：(1)直线ad与平面bcd所成角的大小；(2)异面直线ad与bc所成的角；(3)二面角abdc的大小.7一副三角板拼成一个四边形abcd，如图，然后将它沿bc折成直二面角.(1)求证：平面abd平面acd；(2)求ad与bc所成的角；(3)求二面角abdc的大小.8设d是abc的bc边上一点，把acd沿ad折起，使c点所处的新位置c在平面abd上的射影h恰好在ab上.(1)求证：直线cd与平面abd和平面ahc所成的两个角之和不可能超过90；(2)若bac=90，二面角cadh为60，求bad的正切值.参考答案一、1.解析：(特殊位置法）将p点取为a1，作oead于e，连结a1e，则a1e为oa1的射影，又ama1e，amoa1，即am与op成90角.答案：d2.解析：作aocb的延长线，连od，则od即为ad在平面bcd上的射影，ao=od=a,ado=45.答案：b二、3.解析：在oc上取一点c，使oc=1，过c分别作caoc交oa于a，cboc交ob于b，则ac=1，oa=，bc=，ob=2，rtaob中，ab2=6，abc中，由余弦定理，得cosacb=.答案：4.解析：设一个侧面面积为s1，底面面积为s，则这个侧面在底面上射影的面积为，由题设得，设侧面与底面所成二面角为,则cos=,=60.答案：60三、5.(1)解：因为pa平面ac，abbc,pbbc,即pbc=90,由勾股定理得pb=.pc=.(2)解：如图，过点c作cebd交ad的延长线于e，连结pe，则pc与bd所成的角为pce或它的补角.ce=bd=，且pe=由余弦定理得cospce=pc与bd所成角的余弦值为.(3）证明：设pb、pc中点分别为g、f，连结fg、ag、df，则gfbcad，且gf=bc=1=ad，从而四边形adfg为平行四边形，又ad平面pab，adag，即adfg为矩形，dffg.在pcd中，pd=，cd=，f为bc中点，dfpc从而df平面pbc，故平面pdc平面pbc，即二面角bpcd为直二面角.6.解：(1)如图，在平面abc内，过a作ahbc，垂足为h，则ah平面dbc，adh即为直线ad与平面bcd所成的角.由题设知ahbahd，则dhbh，ah=dh，adh=45(2)bcdh，且dh为ad在平面bcd上的射影，bcad，故ad与bc所成的角为90.(3)过h作hrbd，垂足为r，连结ar，则由三垂线定理知，arbd，故arh为二面角abdc的平面角的补角.设bc=a,则由题设知，ah=dh=,在hdb中，hr=a，tanarh=2故二面角abdc大小为arctan2.7.(1)证明：取bc中点e，连结ae，ab=ac，aebc平面abc平面bcd，ae平面bcd，bccd，由三垂线定理知abcd.又abac，ab平面bcd，ab平面abd.平面abd平面acd.(2)解：在面bcd内，过d作dfbc，过e作efdf，交df于f，由三垂线定理知afdf，adf为ad与bc所成的角.设ab=m，则bc=m，ce=df=m,cd=ef=m即ad与bc所成的角为arctan(3)解：ae面bcd，过e作egbd于g，连结ag，由三垂线定理知agbd，age为二面角abdc的