十年真题（2010_2019）高考数学真题分类汇编专题11平面解析几何解答题文（含解析）.docx

专题11平面解析几何解答题历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2018抛物线2018年新课标1文科20解答题2017抛物线2017年新课标1文科20解答题2016抛物线2016年新课标1文科20解答题2015圆的方程2015年新课标1文科20解答题2014圆的方程2014年新课标1文科20解答题2013圆的方程2013年新课标1文科21解答题2012抛物线2012年新课标1文科20解答题2011圆的方程2011年新课标1文科20解答题2011圆的方程2011年新课标1文科22解答题2010椭圆2010年新课标1文科20历年高考真题汇编1【2018年新课标1文科20】设抛物线C：y22x，点A（2，0），B（2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：ABMABN【解答】解：（1）当l与x轴垂直时，x2，代入抛物线解得y2，所以M（2，2）或M（2，2），直线BM的方程：yx+1，或：yx1（2）证明：设直线l的方程为l：xty+2，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线l与抛物线方程得，消x得y22ty40，即y1+y22t，y1y24，则有kBN+kBM0，所以直线BN与BM的倾斜角互补，ABMABN2【2017年新课标1文科20】设A，B为曲线C：y上两点，A与B的横坐标之和为4（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程【解答】解：（1）设A（x1，），B（x2，）为曲线C：y上两点，则直线AB的斜率为k（x1+x2）41；（2）设直线AB的方程为yx+t，代入曲线C：y，可得x24x4t0，即有x1+x24，x1x24t，再由y的导数为yx，设M（m，），可得M处切线的斜率为m，由C在M处的切线与直线AB平行，可得m1，解得m2，即M（2，1），由AMBM可得，kAMkBM1，即为1，化为x1x2+2（x1+x2）+200，即为4t+8+200，解得t7则直线AB的方程为yx+73【2016年新课标1文科20】在直角坐标系xOy中，直线l：yt（t0）交y轴于点M，交抛物线C：y22px（p0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H（）求；（）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由【解答】解：（）将直线l与抛物线方程联立，解得P（，t），M关于点P的对称点为N，t，N（，t），ON的方程为yx，与抛物线方程联立，解得H（，2t）2；（）由（）知kMH，直线MH的方程为yx+t，与抛物线方程联立，消去x可得y24ty+4t20，16t244t20，直线MH与C除点H外没有其它公共点4【2015年新课标1文科20】已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x2）2+（y3）21交于点M、N两点（1）求k的取值范围；（2）若12，其中O为坐标原点，求|MN|【解答】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A（0，1）的直线方程：ykx+1，即：kxy+10由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R1故由1，故当k，过点A（0，1）的直线与圆C：（x2）2+（y3）21相交于M，N两点（2）设M（x1，y1）；N（x2，y2），由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为ykx+1，代入圆C的方程（x2）2+（y3）21，可得 （1+k2）x24（k+1）x+70，x1+x2，x1x2，y1y2（kx1+1）（kx2+1）k2x1x2+k（x1+x2）+1k2+k1，由x1x2+y1y212，解得 k1，故直线l的方程为 yx+1，即 xy+10圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径所以|MN|25【2014年新课标1文科20】已知点P（2，2），圆C：x2+y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积【解答】解：（1）由圆C：x2+y28y0，得x2+（y4）216，圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4设M（x，y），则，由题意可得：即x（2x）+（y4）（2y）0整理得：（x1）2+（y3）22M的轨迹方程是（x1）2+（y3）22（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆，由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPMkON3，直线l的斜率为直线PM的方程为，即x+3y80则O到直线l的距离为又N到l的距离为，|PM|6【2013年新课标1文科21】已知圆M：（x+1）2+y21，圆N：（x1）2+y29，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C（）求C的方程；（）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y21，可知圆心M（1，0）；圆N：（x1）2+y29，圆心N（1，0），半径3设动圆的半径为R，动圆P与圆M外切并与圆N内切，|PM|+|PN|R+1+（3R）4，而|NM|2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，a2，c1，b2a2c23曲线C的方程为（x2）（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|PN|2R2312，所以R2，当且仅当P的圆心为（2，0）R2时，其半径最大，其方程为（x2）2+y24l的倾斜角为90，则l与y轴重合，可得|AB|若l的倾斜角不为90，由于M的半径1R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（4，0），所以可设l：yk（x+4），由l于M相切可得：，解得当时，联立，得到7x2+8x80，|AB|由于对称性可知：当时，也有|AB|综上可知：|AB|或7【2012年新课标1文科20】设抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，准线为l，AC，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若BFD90，ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值【解答】解：（1）由对称性知：BFD是等腰直角，斜边|BD|2p点A到准线l的距离，ABD的面积SABD，解得p2，所以F坐标为（0，1），圆F的方程为x2+（y1）28（2）由题设，则，A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为8【2011年新课标1文科20】在平面直角坐标系xOy中，曲线yx26x+1与坐标轴的交点都在圆C上（）求圆C的方程；（）若圆C与直线xy+a0交与A，B两点，且OAOB，求a的值【解答】解：（）法一：曲线yx26x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2，0），（32，0）可知圆心在直线x3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有32+（t1）2（2）2+t2，解得t1，故圆C的半径为，所以圆C的方程为（x3）2+（y1）29法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F0x0，y1有1+E+F0y0，x26x+10与x2+Dx+F0是同一方程，故有D6，F1，E2，即圆方程为x2+y26x2y+10（）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组，消去y，得到方程2x2+（2a8）x+a22a+10，由已知可得判别式5616a4a20在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x24a，x1x2，由于OAOB可得x1x2+y1y20，又y1x1+a，y2x2+a，所以可得2x1x2+a（x1+x2）+a20由可得a1，满足5616a4a20故a19【2011年新课标1文科22】如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x214x+mn0的两个根（）证明：C，B，D，E四点共圆；（）若A90，且m4，n6，求C，B，D，E所在圆的半径【解答】解：（I）连接DE，根据题意在ADE和ACB中，ADABmnAEAC，即又DAECAB，从而ADEACB因此ADEACBC，B，D，E四点共圆（）m4，n6时，方程x214x+mn0的两根为x12，x212故AD2，AB12取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DHC，B，D，E四点共圆，C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH由于A90，故GHAB，HFACHFAG5，DF（122）5故C，B，D，E四点所在圆的半径为510【2010年新课标1文科20】设F1，F2分别是椭圆E：x21（0b1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列（）求|AB|；（）若直线l的斜率为1，求b的值【解答】解：（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|4又2|AB|AF2|+|BF2|，得（2）L的方程式为yx+c，其中设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组，化简得（1+b2）x2+2cx+12b20则因为直线AB的斜率为1，所以即则解得考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：直线方程、圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线，曲线与方程等.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为：直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等为重点较佳.最新高考模拟试题1已知椭圆的离心率为，椭圆经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点是椭圆上的任意一点，射线与椭圆交于点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与椭圆交于两个相异点，证明：面积为定值.【答案】（1）； （2）见解析.【解析】（1）解：因为的离心率为，所以，解得.将点代入，整理得.联立，得，故椭圆的标准方程为.（2）证明：当直线的斜率不存在时，点为或，由对称性不妨取，由（1）知椭圆的方程为，所以有.将代入椭圆的方程得，所以 .当直线的斜率存在时，设其方程为，将代入椭圆的方程得，由题意得，整理得.将代入椭圆的方程，得.设，则，所以 .设，则可得，.因为，所以，解得（舍去），所以，从而.又因为点到直线的距离为，所以点到直线的距离为，所以 ，综上，的面积为定值.2如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(ab0)经过点(0，)，点F是椭圆的右焦点，点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等过点F的直线交椭圆于M，N两点（1）求椭圆C的标准方程；（2）当MF2FN时，求直线的方程；（3）若直线上存在点P满足PMPNPF2，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上【答案】（1）；（2）；（3）见解析.【解析】（1）设椭圆的截距为2c，由题意，b，由点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c，又a2b2+c2，联立解得a2，c1椭圆C的标准方程为；（2）当直线l与x轴重合时，M（2，0），N（2，0），此时MF3NF，不合题意；当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为xmy+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得（3m2+4）y2+6my9036m2+36（m2+4）0 ，由MF2FN，得y12y2，联立得，代入得，解得直线方程为；（3）当直线l的斜率为0时，则M（2，0），N（2，0），设P（x0，y0），则PMPN|（x02）（x0+2）|，点P在椭圆外，x02，x0+2同号，又，解得当直线l的斜率不为0时，由（2）知，点P在椭圆外，y1y0，y2y0同号，PMPN（1+m2）（y1y0）（y2y0），整理得，代入直线方程得点P在定直线上3已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于，两点，是坐标原点（1）若直线过点且，求直线的方程；（2）已知点，若直线不与坐标轴垂直，且，证明：直线过定点【答案】（1）或；（2）.【解析】解：（1）法一：焦点，当直线斜率不存在时，方程为，与抛物线的交点坐标分别为，此时，不符合题意，故直线的斜率存在设直线方程为与联立得，当时，方程只有一根，不符合题意，故.，抛物线的准线方程为，由抛物线的定义得，解得，所以方程为或.法二：焦点，显然直线不垂直于轴，设直线方程为,与联立得，设，.，由，解得，所以方程为或.（2）设，设直线方程为与联立得：，可得，.由得，即.整理得，即，整理得，即，即.故直线方程为过定点.4已知椭圆，是长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，点在第一象限，且，（1）求椭圆的标准方程；（2）设、为椭圆上不重合的两点且异于、，若的平分线总是垂直于轴，问是否存在实数，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求取得最大值时的的长【答案】(1) (2) 【解析】（1），即，是等腰直角三角形，而点在椭圆上，所求椭圆方程为（2）对于椭圆上两点，的平分线总是垂直于轴，与所在直线关于对称，则，的直线方程为，的直线方程为，将代入，得，在椭圆上，是方程的一个根，以替换，得到，弦过椭圆的中心，存在实数，使得，当时，即时取等号，又， ，取得最大值时的的长为5已知抛物线，过抛物线焦点的直线分别交抛物线与圆于（自上而下顺次）四点.（1）求证：为定值；（2）求的最小值.【答案】(1)见证明；(2)108【解析】（1）有题意可知， 可设直线的方程为，联立直线和抛物线方程，消可得， 所以，由抛物线的定义可知，又， 所以，所以为定值16.（2）由（1）可知，由，可得，所以（其中）， 令， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以.所以的最小值为.6已知为坐标原点，点，过点作的平行线交于点.设点的轨迹为.（）求曲线的方程；（）已知直线与圆相切于点，且与曲线相交于，两点，的中点为，求三角形面积的最大值.【答案】（）；（）.【解析】（）因为，故，所以，故，由题设得，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：.（）由题意，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，因为直线与圆相切，所以，由消去得.设，由韦达定理知：.所以中点的坐标为，所以弦的垂直平分线方程为，即 .所以.将代入得（当且仅当，即时，取等号）.所以三角形的面积为，综上所述，三角形的面积为.7已知椭圆的离心率为，是椭圆的一个焦点点，直线的斜率为（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，且求的方程【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意，可得，解得，则，故椭圆的方程为（2）当的斜率不存在时，不合题意，故的斜率存在设的方程为，联立，得，设，则，即，设，则，则，即整理得故，的方程为8已知椭圆过点，右焦点是抛物线的焦点. （1）求椭圆的方程；（2）已知动直线过右焦点，且与椭圆分别交于，两点.试问轴上是否存在定点，使得恒成立?若存在求出点的坐标:若不存在，说明理由.【答案】(1) (2)见解析【解析】（1）因为椭圆过点，所以，又抛物线的焦点为，所以.所以，解得（舍去）或.所以椭圆的方程为.（2）假设在轴上存在定点，使得.当直线的斜率不存在时，则，由，解得或；当直线的斜率为0时，则，由，解得或.由可得，即点的坐标为.下面证明当时，恒成立.当直线的斜率不存在或斜率为0时，由知结论成立.当直线的斜率存在且不为0时，设其方程为，.直线与椭圆联立得，直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且，.，所以恒成立综上所述，在轴上存在点，使得恒成立.9关于椭圆的切线由下列结论：若是椭圆上的一点，则过点的椭圆的切线方程为.已知椭圆.(1)利用上述结论，求过椭圆上的点的切线方程；(2)若是直线上任一点，过点作椭圆的两条切线，（，为切点），设椭圆的右焦点为，求证：.【答案】（1）（2）见证明【解析】(1)由题意，将代入椭圆方程，得，所以，所以过椭圆上的点的切线方程为，即.(2)设，则过，两点的椭圆的切线，的方程分别为，因为在两条切线上，所以，两点均在直线上，即直线的方程为，当时，又，所以，若，点在轴上，两点关于轴对称，显然.10已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，为椭圆上一动点（异于左右顶点），若面积的最大值为（1）求椭圆的方程；（2）若直线过点交椭圆于两点，问在轴上是否存在一点，使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）由题意，当在上或下顶点时，的面积取值最大值，即最大值为，又，且，解得，故椭圆的方程为（2）易知，设直线的方程为，联立方程组，整理得，则，要使为定值，则，解得，所以在轴上存在点，使得为定值11已知点，直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设直线与轨迹交于两点，、，且 (，且为常数)，过弦的中点作平行于轴的直线交轨迹于点，连接、.试判断的面积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由【答案】(1) (2)见解析【解析】（1）设，则，即，即，所以动点的轨迹的方程.（2）联立方程组消去，得，依题意，且，由得，即，整理得：，所以，因为的中点，所以点，依题意，由方程中的判别式，得，所以，由知，所以，又为常数，故的面积为定值.12已知点P在抛物线上，且点P的横坐标为2，以P为圆心，为半径的圆（O为原点），与抛物线C的准线交于M，N