四川省2019届高三数学下学期（4月）“联测促改”活动试题理（含解析）.docx

四川省2019届高三数学下学期（4月）“联测促改”活动试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，则集合( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解不等式得A,求得，进而可求【详解】因为集合，所以，所以.故选C.【点睛】本小题考查集合的基本运算，全集、补集、交集等基础知识：考查运算求解能力.2.在复平面内，复数对应的点是，则复数的共轭复数（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题得z=-1+2i,再求复数的共轭复数-1-2i.【详解】由题得z=-1+2i,所以复数的共轭复数-1-2i. 故选：B【点睛】本题主要考查复数的几何意义，考查共轭复数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数中偶数的个数为（ ）A. 7200B. 2880C. 120D. 60【答案】B【解析】【分析】分两步完成：第一步，计算出选数字的不同情况种数，第二步，计算出末尾是偶数的排法种数，再利用分步计算原理即可求解。【详解】从1，3，5，7，9中任取3个数字再从2，4，6，8中任取2个数字，有种选法，再将选出的5个数字排成五位偶数有种排法，所以组成没有重复数字五位偶数有个.故选：B【点睛】本题主要考查了排列与组合的简单应用等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，分类讨论思想，属于中档题。4.已知向量，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由向量，表示，利用辅助角公式化简求最值即可.【详解】因为 ，所以当时，取得最大值.【点睛】本小题考查平面向量的基本运算，三角函数的最值，向量模的概念及其最值等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.5.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）A. -1B. 0C. D. 1【答案】A【解析】【分析】直接模拟程序框图运行得解.【详解】由题得13，S=2,i=2;23，S=2+4,i=3;33，S=2+4+8,i=4;.故选:A【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）A. 729B. 428C. 356D. 243【答案】D【解析】【分析】先找到三视图对应的几何体，再利用棱锥的体积公式得解.【详解】由题得几何体原图是如图所示的四棱锥P-ABCD，底面是边长为9的正方形，高PA=9,所以几何体的体积为.故选：D【点睛】本题主要考查根据三视图找原图，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.下列说法中错误的是（ ）A. 先把高二年级的名学生编号为到，再从编号为到的名学生中随机抽取名学生，其编号为，然后抽取编号为，的学生，这样的抽样方法是系统抽样法.B. 正态分布在区间和上取值的概率相等C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于D. 若一组数据的平均数是，则这组数据的众数和中位数都是【答案】C【解析】【分析】对于，根据系统抽样的定义可判断；对于，根据正态分布的对称性可判断在两个区间上的概率；对于，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于，可进行判断；对于，根据一组数据的平均数是，得，求得该组数据的众数和中位数，可判断D.【详解】对于，根据抽样方法特征是数据多，抽样间隔相等，是系统抽样，正确；对于，正态分布的曲线关于对称，区间和与对称轴距离相等，所以在两个区间上的概率相等，正确；对于，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于，错误；对于，一组数据的平均数是，；所以该组数据的众数和中位数均为，正确.【点睛】本小题考查系统抽样，线性回归，线性相关，平均数，中位数与众数等基础知识，意在考查学生分析问题，及解决问题的能力和运算求解能力.8.，是：上两个动点，且，到直线：的距离分别为，则的最大值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】由题设,其中，先利用两点间的距离公式求出，再利用三角恒等变换知识化简，再利用三角函数的图像和性质求最值得解.【详解】由题设,其中.可以由题得 5，此时.故选：C【点睛】本题主要考查圆的方程，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.9.已知四面体外接球的球心恰好在上，等腰直角三角形的斜边为2，则这个球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题可得：为的中点，取的中点，连接，由已知可判断点为外接圆圆心，由截面圆的性质可得平面，即：，解三角形即可求得外接球的半径为，问题得解。【详解】由题可得：为的中点，取中点，则为的中位线，由等腰直角三角形可得：点为外接圆圆心，且所以平面，所以球心到面的距离为，外接球球半径为，故球表面积为.故选：C【点睛】本题主要考查了三角形外接圆、三角形中位线和球的表面积计算公式等知识，考查空间想象能力及截面圆的性质，考查运算求解能力和分析问题解决问题的能力，属于中档题。10.已知函数的最小正周期为，其图象向左平移个单位后所得图象关于轴对称，则的单调递增区间为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】利用函数的周期为可求得，再求出函数图象平移后的解析式，由其图象关于轴对称可求得，结合三角函数性质即可求得的增区间，问题得解。【详解】由的最小正周期为，所以，的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为，因其图象关于轴对称，所以，因为，则，所以，由，得，.即的单调递增区间为，.故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数的图象及其性质等基础知识，考查三角函数图像平移知识及运算求解能力，属于中档题。11.在数列中，已知，且对于任意的，都有，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令，代入已知可得，将变形：，即可求得，裂项得：，问题得解【详解】因为对于任意的，都有，取，有，即，则 ，所以，所以 .故选：C【点睛】本题主要考查了等差数列前项和公式、裂项求和、赋值法，还考查计算能力及转化能力，属于中档题。12.已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式.若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，求出，由题可得是在上的奇函数且在上为单调递增函数，将转化成，利用在上为单调递增函数可得：恒成立，利用导数求得，解不等式可得，问题得解。【详解】因为，所以，令，则，又因为是在上的偶函数，所以是在上的奇函数，所以是在上的单调递增函数，又因为，可化为，即，又因为是在上的单调递增函数，所以恒成立，令，则，因为，所以在单调递减，在上单调递增，所以，则，所以.所以正整数的最大值为2.故选：B【点睛】本题主要考查了函数与导数的应用，函数的奇偶性、单调性、不等式恒成立等基础知识，考查分析和转化能力，推理论证能力，运算求解能力，构造能力，属于难题。.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若变量，满足约束条件，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，又，它表示点与点连线斜率，结合图形可以判断其最小值，问题得解。【详解】作出不等式组表示的平面区域，它是以，和为顶点的三角形区域（包含边界），表示平面区域内的点与定点的连线的斜率，结合图形易得平面区域内的点与点的连线的斜率最小，所以的最小值为.【点睛】本题主要考查了线性规划求最值等基础知识，考查转化能力，运算求解能力，数形结合思想，属于基础题。14.已知等比数列中，则_【答案】【解析】【分析】设数列的公比为，由，解得， ，可得数列的首项，公比，进而可求和得解.【详解】设数列的公比为，则，所以， ，所以数列是首项为，公比的等比数列，所以 .【点睛】本小题考查等比数列的通项公式，前项和的公式及其应用等基础知识；考查推理论证能力，运算求解能力，应用意识.15.已知定义在上的奇函数满足，且，则的值为_【答案】2【解析】【分析】由为奇函数且可得函数是周期为4的周期函数.可将转化为，由奇函数特点可得，在中，令，可得，问题得解。【详解】因为为奇函数，所以，又，所以，所以，所以函数是周期为4的周期函数.所以 ，又，在中，令，可得，.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与周期性的应用，考查运算求解能力、等价变换的能力，还考查了赋值法，属于中档题。16.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线与圆：有公共点，且圆在点处的切线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的实轴长为_【答案】【解析】【分析】对双曲线的焦点位置分两种情况讨论，先求出圆在点的切线为，再根据题得到关于a,b的方程组，解方程组即得a 和双曲线实轴的长.【详解】当双曲线的焦点在x轴上时，设为，圆有公共点，圆在点的切线方程的斜率为：，圆在点的切线为：，即，圆在点的切线与双曲线的渐近线平行，并且中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线，可得，所以a=2b, (1)因为, (2)解方程（1）(2)得无解.当双曲线的焦点在y轴上时，设为，圆有公共点，圆在点的切线方程的斜率为：，圆在点的切线为：，即，圆在点的切线与双曲线的渐近线平行，并且中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线，可得，所以b=2a, (3)因为, (4)解方程（3）(4)得,所以该双曲线的实轴长为.故答案为：【点睛】本题主要考查圆的方程，考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.三、解答题 :共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答. （一）必考题：共60分17.槟榔原产于马来西亚，中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区，在亚洲热带地区广泛栽培.槟榔是重要的中药材，在南方一些少数民族还有将果实作为一种咀嚼嗜好品，但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单类致癌物.云南某民族中学为了解，两个少数民族班学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）.（1）从班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为，从班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为，求的概率；（2）从所有咀嚼槟榔颗数在20颗以上（包含20颗）的同学中随机抽取3人，求被抽到班同学人数的分布列和数学期望.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）由题可得：从班和班的样本数据中各随机抽取一个共有种不同情况，列出的情况有，三种，问题得解。（2）的可能取值为1，2，3.分别求出各种取值的概率即可列出分布列，再由数学期望公式求解即可。【详解】（1）班的样本数据中不超过19的数据有3个，班的样本数据中不超过21的数据也有3个，从班和班的样本数据中各随机抽取一个共有种不同情况.其中的情况有，三种，故的概率.（2）因为所有咀嚼槟榔颗数在20颗以上（包含20颗）的同学中，班有2人，班有3人，共有5人，设抽到班同学的人数为，的可能取值为1，2，3.，.的分布列为： 123 数学期望为.【点睛】本题主要考查了茎叶图、样本的数字特征、古典概型的概率公式，随机变量的分布列与期望等知识，考查数学应用能力，逻辑思维能力、运算求解能力，属于中档题。18.如图，在中，已知点在边上，且，.（1）求的长；（2）求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先计算得到 ，再利用余弦定理求出的长(2)先利用余弦定理求得, 即得.在中，易得.再求得的面积为.【详解】（1）因为，所以，所以 .在中，由余弦定理得：，所以.（2）中，由（1）知， ，所以.则.在中，易得. .所以的面积为.【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.19.如图，在棱长为1正方体中，动点在线段上运动，且有.（1）若，求证：；（2）若二面角的平面角的余弦值为，求实数的值.【答案】(1)见证明；(2) 【解析】【分析】（1）当时，与重合，连接，可得，再由正方体特征可证得，即可证得平面，问题得证（2）以为坐标原点，分别为，轴建立空间直角坐标系.分别求出平面的一个法向量及平面的一个法向量，利用向量夹角的坐标表示列方程即可求得，问题得解。【详解】（1）当时，与重合，连接，则在正方形中，.又在正方体中底面，而平面，所以.，所以平面，而平面，所以，也即.（2）依题意，以为坐标原点，分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，.，.设平面的一个法向量，则，即，取得.设平面的一个法向量，则，即，取得.所以 ，解得或.因为，所以.【点睛】本题主要考查了证明线线关系以及利用空间向量求二面角的平面角等基础知识，还考查了空间向量的坐标运算，考查运算求解能力及方程思想，属于中档题。20.已知点与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若直线：交曲线于，两点，当点不在、两点时，直线，的斜率分别为，求证：，之积为定值.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）由题意列方程，整理化简得：，问题得解。（2）设，联立直线与椭圆方程，可得，整理化简即可得证。【详解】（1）由题意，将上式两边平方，化简：，即曲线的方程为.（2）把代入，有，设，则：，.，.即，之积为定值.【点睛】本题主要考查了椭圆方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，还考查了韦达定理及运算求解能力，考查逻辑思维与推证能力、分析与解决问题的能力，属于难题。21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.【答案】(1)见解析；(2) 【解析】【分析】（1）将函数求导后，对分成两种情况，讨论函数的单调性.（2）结合（1）的结论，当时函数在定义域上递减，至多只有一个零点，不符合题意.当时，利用函数的最小值小于零，求得的取值范围，并验证此时函数有两个零点，由此求得点的取值范围.【详解】（1） 若，在上单调递减； 若，当时，即在上单调递减， 当时，即在上单调递增. （2）若，在上单调递减，至多一个零点，不符合题意. 若，由（1）可知，的最小值为 令，所以在上单调递增，又，当时，至多一个零点，不符合题意，当时，又因为，结合单调性可知在有一个零点令，当时，单调递减，当时，单调递增，的最小值为，所以当时， 结合单调性可知在有一个零点综上所述，若有两个零点，的范围是【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求解有关零点个数的问题，考查分类讨论的思想方法，考查分析和解决问题的能力，属于中档题.在求解有关利用导数求函数单调区间的问题中，导函数往往含有参数，此时就要对参数进行分类讨论