高中数学第三章空间向量与立体几何3_1_1空间向量的线性运算课件新人教b版选修2_1

第三章3 1空间向量及其运算 3 1 1空间向量的线性运算 1 了解空间向量 向量的模 零向量 相反向量 相等向量 共线向量等的概念 2 会用平行四边形法则 三角形法则作出向量的和与差 了解向量加法的交换律和结合律 3 掌握数乘向量运算的意义及运算律 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一空间向量的概念 类比平面向量的概念 给出空间向量的概念 答案 在空间 把具有大小和方向的量叫做空间向量 梳理 1 在空间 把具有和的量叫做空间向量 向量的大小叫做向量的或 空间向量也用有向线段表示 有向线段的表示向量的模 向量a的起点是A 终点是B 则向量a也可记作 其模记为 大小 方向 长度 模 长度 2 几类特殊的空间向量 零向量 模为1 相反 相等 相同 相等 同向 等长 互相平行或重合 共线向量 平行向量 知识点二空间向量的加减运算及运算律 思考1 答案 下面给出了两个空间向量a b 作出b a b a 如图 空间中的两个向量a b相加时 我们可以先把向量a b平移到同一个平面 内 思考2 由上述的运算过程总结一下 如何求空间两个向量的和与差 下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则 答案 先将两个向量平移到同一个平面 然后运用平面向量的运算法则 三角形法则 平行四边形法则 运算即可 图1是三角形法则 图2是平行四边形法则 梳理 1 类似于平面向量 可以定义空间向量的加法和减法运算 2 空间向量加法交换律a b 空间向量加法结合律 a b c a b c b a 知识点三数乘向量运算 0时 a和a方向相同 0时 a和a方向相反 a的长度是a的长度的 倍 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 分配律 a b a b 结合律 a a 思考 答案 实数 和空间向量a的乘积 a的意义是什么 向量的数乘运算满足哪些运算律 梳理 1 实数与向量的积与平面向量一样 实数 与空间向量a的乘积 a仍然是一个向量 称为向量的数乘运算 记作 a 其长度和方向规定如下 a 当 0时 a与向量a方向相同 当 0时 a与向量a方向 当 0时 a 0 2 空间向量数乘运算满足以下运算律 a a b a 相反 a a b 题型探究 例1给出以下结论 两个空间向量相等 则它们的起点和终点分别相同 若空间向量a b满足 a b 则a b 在正方体ABCD A1B1C1D1中 必有 若空间向量m n p满足m n n p 则m p 其中不正确的个数是A 1B 2C 3D 4 答案 类型一有关空间向量的概念的理解 解析 两个空间向量相等 它们的起点 终点不一定相同 故 不正确 若空间向量a b满足 a b 则不一定能判断出a b 故 不正确 在正方体ABCD A1B1C1D1中 必有成立 故 正确 显然正确 故选B 在空间中 向量 向量的模 相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致 两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同 模相等 两向量互为相反向量的充要条件是大小相等 方向相反 反思与感悟 跟踪训练1 1 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中 下列四对向量 其中互为相反向量的有n对 则n等于 A 1B 2C 3D 4 答案 解析 2 如图 在长方体ABCD A B C D 中 AB 3 AD 2 AA 1 则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中 单位向量共有多少个 解答 试写出模为的所有向量 解答 试写出与向量相等的所有向量 解答 试写出向量的所有相反向量 解答 类型二空间向量的加减运算 例2如图 已知长方体ABCD A B C D 化简下列向量表达式 并在图中标出化简结果的向量 解答 解答 引申探究利用例2题图 化简 解答 反思与感悟 2 首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形 则它们的和为0 如图 3 空间向量的减法运算也可以看成是向量的加法运算 即a b a b 4 由于空间任意两个向量都可以平移到同一平面内 成为同一个平面内的两个向量 而平面向量满足加法交换律 因此空间向量也满足加法交换律 5 空间向量加法结合律的证明 如图 跟踪训练2在如图所示的平行六面体中 求证 证明 平行六面体的六个面均为平行四边形 类型三数乘向量运算 例3如图所示 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中 设 a b c M N P分别是AA1 BC C1D1的中点 试用a b c表示以下各向量 解答 解答 解答 引申探究若把本例中 P是C1D1的中点 改为 P在线段C1D1上 且 其他条件不变 如何表示 解答 反思与感悟 利用数乘运算进行向量表示的技巧 1 数形结合 利用数乘运算解题时 要结合具体图形 利用三角形法则 平行四边形法则 将目标向量转化为已知向量 2 明确目标 在化简过程中要有目标意识 巧妙运用中点性质 跟踪训练3如图 在空间四边形OABC中 M N分别是对边OA BC的中点 点G在MN上 且MG 2GN 如图所示 记 a b c 试用向量a b c表示向量 解答 当堂训练 1 下列命题中 假命题是A 同平面向量一样 任意两个空间向量都不能比较大小B 两个相等的向量 若起点相同 则终点也相同C 只有零向量的模等于0D 空间中任意两个单位向量必相等 答案 1 2 3 4 5 1 2 3 4 2 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中 与向量相等的向量共有A 1个B 2个C 3个D 4个 答案 解析 5 1 2 3 4 5 3 向量a b互为相反向量 已知 b 3 则下列结论正确的是A a bB a b为实数0C a与b方向相同D a 3 答案 解析 向量a b互为相反向量 则a b模相等 方向相反 故D正确 4 在正方体ABCD A1B1C1D1中 已知下列各式 答案 解析 其中运算的结果为的有 个 4 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 答案 0 解析 规律与方法 1 一些特殊向量的特性 1 零向量不是没有方向 而是它的方向是任意的 2 单位向量方向虽然不一定相同 但它们的长度都是1 3 两个向量模相等 不一定是相等向量 反之 若两个向量相等 则它们不仅模相等 方向也相同 若两个向量模相等 方向相反 则它们为相反向量 2 空间向量加法 减法