高中数学第一章常用逻辑用语1_3_1量词课件苏教版选修1_1

1 3 1量词 第1章 1 3全称量词与存在量词 1 理解全称量词与存在量词的含义 2 理解并掌握全称命题和存在性命题的概念 3 能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1观察下列命题 每一个三角形都有内切圆 所有实数都有算术平方根 对一切有理数x 5x 2还是有理数 以上三个命题中分别使用了什么量词 根据命题的实际含义能否判断命题的真假 知识点一全称量词与全称命题 答案 命题 分别使用量词 每一个 所有 一切 命题 是真命题 命题 是假命题 三个命题中的 每一个 所有 一切 都有全部 所有的意义 要求命题对某个集合的所有元素都成立 而负实数没有算术平方根 故命题 为假命题 梳理 1 x M p x 全称量词 2 判断全称命题真假性的方法 对于全称命题 x M p x 要判断它为真 需要对集合M中的每个元素x 证明p x 成立 要判断它为假 只需在M中找到一个x 使p x 不成立 即 x M p x 不成立 知识点二存在量词与存在性命题 思考 观察下列命题 有些矩形是正方形 存在实数x 使x 5 至少有一个实数x 使x2 2x 2 0 以上三个命题分别使用了什么量词 根据命题的实际含义能否判断命题的真假 答案 命题 分别使用了量词 有些 存在 至少有一个 命题 是真命题 命题 是假命题 三个命题中的 有些 存在 至少有一个 等词都是对某个集合内的个别元素而言 要说明这些命题是真命题 只要举出一个例子即可 所以命题 是真命题 而对任意实数x x2 2x 2都大于0 所以命题 为假命题 梳理 1 存在量词 x M p x 2 判断存在性命题真假性的方法 要判断一个存在性命题是真命题 只要在限定集合M中 至少能找到一个x x0 使p x0 成立即可 否则 这一存在性命题是假命题 题型探究 例1判断下列语句是全称命题 还是存在性命题 1 凸多边形的外角和等于360 类型一全称命题与存在性命题的识别 解答 可以改写为 所有的凸多边形的外角和都等于360 故是全称命题 2 有些实数a b能使 a b a b 解答 含有存在量词 有些 故是存在性命题 3 对任意a b R 若a b 则 解答 含有全称量词 任意 故是全称命题 4 有一个函数既是奇函数又是偶函数 解答 含有存在量词 有一个 故是存在性命题 判断一个语句是全称命题还是存在性命题的思路 反思与感悟 跟踪训练1判断下列命题是全称命题还是存在性命题 并用符号 或 表示下列命题 1 自然数的平方大于或等于零 解答 是全称命题 表示为 x N x2 0 2 对每一个无理数x x2也是无理数 是全称命题 x x x是无理数 x2是无理数 解答 3 有的函数既是奇函数又是增函数 解答 是存在性命题 f x 函数 f x 既是奇函数又是增函数 4 对于数列 总存在正整数n 使得an与1之差的绝对值小于0 01 解答 是存在性命题 n N an 1 0 01 其中an 例2判断下列命题的真假 并给出证明 1 x 5 f x x2 4x 2 0 真命题 f x x2 4x 2在 2 上单调递增 对 5 内的每一个x 都有f x f 5 0 因此 1 是真命题 解答 2 x 3 f x x2 4x 2 0 假命题 4 3 但f 4 2 0 因此 2 是假命题 解答 3 a Z a2 3a 2 解答 真命题 1是整数且12 3 1 2 因此 3 是真命题 类型二全称命题与存在性命题的真假判断 4 a 3 a2 3a 2 解答 假命题 a2 3a 2只有两个实数根 a 1或a 2 当a 3时 a2 3a 2 因此 4 是假命题 5 设A B C是平面上不在同一直线上的三点 在平面上存在某个点P 使得PA PB PC 解答 真命题 A B C三点构成一个三角形 三角形总有外接圆 设P是 ABC外接圆的圆心 则PA PB PC 因此 5 是真命题 要判定一个全称命题是真命题 必须对限定集合M中的每个元素x验证p x 成立 但要判定存在性命题是假命题 却只要能举出集合M中的一个x x0 使得p x0 不成立即可 这就是通常所说的 举出一个反例 反思与感悟 跟踪训练2有下列四个命题 x R 2x2 3x 4 0 x 1 1 0 2x 1 0 x N x2 x x N x为29的约数 其中真命题的个数为 3 答案 解析 故 正确 中 当x 1时 2x 1 0 故 不正确 中 当x 0或1时 x2 x 故 正确 中 29 N 29为29的约数 故 正确 真命题的个数为3 例3 1 若命题p 存在x R 使ax2 2x a 0 求实数a的取值范围 解答 类型三全称命题 存在性命题的应用 由ax2 2x a 0 得a x2 1 2x 又 x R 使ax2 2x a 0成立 只要a 1 a的取值范围是 1 2 若不等式 m 1 x2 m 1 x 3 m 1 0对任意实数x恒成立 求实数m的取值范围 解答 当m 1 0即m 1时 对任意实数x 2x 6 0不恒成立 有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用 注意二者的区别 反思与感悟 跟踪训练3当命题 1 x R sinx cosx m 2 x R sinx cosx m分别为真命题时 m的取值范围分别是 1 2 答案 解析 1 令y sinx cosx x R 又 x R sinx cosx m恒成立 2 令y sinx cosx x R 当堂训练 1 下列命题是 x R x2 3 的表述方法的有 有一个x R 使得x2 3 对有些x R 使得x2 3 任选一个x R 使得x2 3 至少有一个x R 使得x2 3 答案 1 2 3 4 5 2 下列命题中全称命题的个数是 任意一个自然数都是正整数 有的等差数列也是等比数列 三角形的内角和是180 2 答案 解析 是全称命题 1 2 3 4 5 3 下列存在性命题是假命题的是 存在x Q 使2x x3 0 存在x R 使x2 x 1 0 有的素数是偶数 有的有理数没有倒数 对于任意的x R 恒成立 因此 使x2 x 1 0的实数不存在 所以 为假命题 1 2 3 4 5 答案 解析 4 对任意的x 3 x a都成立 则a的取值范围是 3 只有当a 3时 对任意的x 3 x a都成立 答案 解析 1 2 3 4 5 5 用量词符号 表述下列命题 1 凸n边形的外角和等于2 x x x是凸n边形 x的外角和是2 解答 1 2 3 4 5 2 有一个有理数x满足x2 3 x Q x2 3 解答 1 判断命题是全称命题还是存在性命题 主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词 有些全称命题虽然不含全称量词 可以根据命