高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3_2_1 直线的方向向量与平面的法向量 3_2_2 空间线面关系的判定（一）课件 苏教版选修2-1

3 2 1直线的方向向量与平面的法向量3 2 2空间线面关系的判定 一 学习目标1 掌握空间点 线 面的向量表示 2 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义 会用待定系数法求平面的法向量 3 能用向量法证明直线与直线 直线与平面 平面与平面的平行问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一直线的方向向量与平面的法向量 思考 怎样用向量来表示点 直线 平面在空间中的位置 答案 1 点 在空间中 我们取一定点O作为基点 那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示 我们把向量称为点P的位置向量 2 直线 直线的方向向量 和这条直线平行或共线的非零向量 对于直线l上的任一点P 在直线上取 a 则存在实数t 使得 3 平面 空间中平面 的位置可以由 内两条相交直线来确定 对于平面 上的任一点P a b是平面 内两个不共线向量 则存在有序实数对 x y 使得 xa yb 空间中平面 的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示 梳理 1 用向量表示直线的位置 方向向量 位置 一点 2 用向量表示平面的位置 通过平面 上的一个定点O和两个向量a和b来确定 通过平面 上的一个定点A和法向量来确定 方向向量 3 直线的方向向量和平面的法向量 非零 方向向量n 4 空间中平行关系的向量表示设直线l m的方向向量分别为a b 平面 的法向量分别为 v 则 a b a 0 kv k R 知识点二利用空间向量处理平行问题 思考 1 设v1 a1 b1 c1 v2 a2 b2 c2 分别是直线l1 l2的方向向量 若直线l1 l2 则向量v1 v2应满足什么关系 由直线方向向量的定义知若直线l1 l2 则直线l1 l2的方向向量共线 即l1 l2 v1 v2 v1 v2 R 答案 思考 2 若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量 则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直 进而确定线面是否平行 答案 3 用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么 关键是找到两个平面的法向量 利用法向量平行来说明两平面平行 答案 利用空间向量解决平行问题时 第一 建立立体图形与空间向量的联系 用空间向量表示问题中涉及的点 直线 平面 把立体几何问题转化为向量问题 第二 通过向量的运算 研究平行问题 第三 把向量问题再转化成相应的立体几何问题 从而得出结论 梳理 题型探究 类型一求直线的方向向量 平面的法向量 例1如图 四棱锥P ABCD中 底面ABCD为矩形 PA 平面ABCD E为PD的中点 AB AP 1 AD 试建立恰当的空间直角坐标系 求平面ACE的一个法向量 解答 因为PA 平面ABCD 底面ABCD为矩形 所以AB AD AP两两垂直 设n x y z 为平面ACE的法向量 引申探究若本例条件不变 试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量 解答 如图所示 建立空间直角坐标系 则P 0 0 1 C 1 0 即为直线PC的一个方向向量 设平面PCD的法向量为n x y z 利用待定系数法求平面法向量的步骤 1 设向量 设平面的法向量为n x y z 反思与感悟 5 赋非零值 取其中一个为非零值 常取 1 6 得结论 得到平面的一个法向量 跟踪训练1如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是矩形 平面PAB 平面ABCD PAB是边长为1的正三角形 ABCD是菱形 ABC 60 E是PC的中点 F是AB的中点 试建立恰当的空间直角坐标系 求平面DEF的一个法向量 解答 连结PF CF AC 因为PA PB F为AB的中点 所以PF AB 又因为平面PAB 平面ABCD 平面PAB 平面ABCD AB PF 平面PAB 所以PF 平面ABCD 因为AB BC ABC 60 所以 ABC是等边三角形 所以CF AB 以F为坐标原点 建立空间直角坐标系 如图所示 设平面DEF的法向量为m x y z 类型二利用空间向量证明平行问题 例2已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2 E F分别是BB1 DD1的中点 求证 1 FC1 平面ADE 证明 建立如图所示的空间直角坐标系D xyz 则有D 0 0 0 A 2 0 0 C 0 2 0 C1 0 2 2 E 2 2 1 F 0 0 1 B1 2 2 2 设n1 x1 y1 z1 是平面ADE的法向量 令z1 2 则y1 1 所以n1 0 1 2 又因为FC1 平面ADE 所以FC1 平面ADE 2 平面ADE 平面B1C1F 证明 令z2 2 得y2 1 所以n2 0 1 2 因为n1 n2 所以平面ADE 平面B1C1F 反思与感悟 利用向量证明平行问题 可以先建立空间直角坐标系 求出直线的方向向量和平面的法向量 然后根据向量之间的关系证明平行问题 跟踪训练2如图 在四棱锥P ABCD中 PA 平面ABCD PB与底面所成的角为45 底面ABCD为直角梯形 ABC BAD 90 PA BC AD 1 问在棱PD上是否存在一点E 使CE 平面PAB 若存在 求出E点的位置 若不存在 请说明理由 解答 分别以AB AD AP为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 如图所示 P 0 0 1 C 1 1 0 D 0 2 0 设存在满足题意的点E 0 y z y 1 2 z 1 0 E是PD的中点 存在E点 当点E为PD中点时 CE 平面PAB 当堂训练 显然 2 4 6 可以作为直线l的一个方向向量 1 若点A 1 0 1 B 1 4 7 在直线l上 则直线l的一个方向向量的坐标可以是 2 3 4 5 1 答案 解析 2 4 6 2 3 4 5 1 由题可知只有 可以作为 的法向量 2 已知向量n 2 3 1 是平面 的一个法向量 则下列向量中能作为平面 的法向量的是 填序号 n1 0 3 1 n2 2 0 4 n3 2 3 1 n4 2 3 1 答案 解析 2 3 4 5 1 故 x 3 y 1 z 1 0 化简 得x 3y z 4 0 3 已知向量n 1 3 1 为平面 的法向量 点M 0 1 1 为平面内一定点 P x y z 为平面内任一点 则x y z满足的关系式是 答案 解析 x 3y z 4 0 4 若直线l 且l的方向向量为 2 m 1 平面 的法向量为则m为 2 3 4 5 1 答案 解析 8 2 3 4 5 1 5 在正方体ABCD A1B1C1D1中 平面ACD1的一个法向量为 1 1 1 答案不惟一 答案 解析 不妨设正方体的棱长为1 建立空间直角坐标系 如图所示 则A 1 0 0 C 0 1 0 D1 0 0 1 设平面ACD1的一个法向量为a x y z 注 答案不惟一 只要与所给答案共线都对 2 3 4 5 1 规律与方法 1 应用向量法证明线面平行问题的方法 1 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 2 证明直线的方向向量与平