高等数学（三）第二章 行列式 课件

设有两块曲面S1 S2 它们的方程依次为 S1 F x y z 0S2 G x y z 0 S1 S2的交线C上的点一定同时满足这两个方程 而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程 因此 即为交线C的方程 称为空间曲线C的一般方程 2 二 空间曲线及其方程 1 空间曲线的一般方程 例5 柱面x2 y2 1与平面x y z 2的交线是一个圆 它的一般方程是 2 空间曲线的参数方程 将曲线C上动点的坐标x y z都表示成一个参数t的函数 x x t y y t 3 z z t 当给定t t1时 就得到C上一个点 x y z 随着t的变动便可得曲线C上的全部点 方程组 2 叫做空间曲线的参数方程 例6 如果空间一点M在圆柱面x2 y2 a2上以角速度 绕z轴旋转 同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升 其中 v都是常数 那末点M构成的图形叫做螺旋线 试建立其参数方程 解 取时间t为参数 设当t 0时 动点位于x轴上的一点A a 0 0 处 经过时间t 由A运动到M x y z M在xOy面上的投影为M x y 0 1 动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转 所以经过时间t AOM t 从而 x OM cos AOM acos t y OM sin AOM asin t 2 动点同时以线速度v沿z轴向上升 因而 z MM vt 得螺旋线的参数方程 x acos ty asin tz vt 注 还可以用其它变量作参数 例如 令 t 为参数 螺旋线的参数方程为 x acos y asin z b 当 从 0变到 0 是 z由b 0变到b 0 b 即M点上升的高度与OM 转过的角度成正比 特别 当 2 时 M点上升高度h 2 b 在工程上称h 2 b为螺距 3 空间曲线在坐标面上投影 设空间曲线C的一般方程 方程 5 表示一个母线平行于z轴的柱面 曲线C一定在柱面上 注 同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程 例7 已知两个球面的方程分别为 x2 y2 z2 1和x2 y 1 2 z 1 2 1求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程 解 联立两个方程消去z 得 两球面的交线C在xOy面上的投影曲线方程为 设一个立体由上半球面和锥面 所围成 求它在xoy面上的投影 解 半球面与锥面的交线为 由方程消去z 得x2 y2 1 于是交线C在xoy面上的投影曲线为 x2 y2 1z 0 这是xoy面上的一个圆 所以 所求立体在xoy面上的投影为 x2 y2 1 例8 研究方法是采用平面截痕法 6二次曲面的标准方程 1 定义 由x y z的二次方程 ax2 by2 cz2 dxy exz fyz gx hy iz j 0 所表示的曲面 称为二次曲面 其中a b i j为常数且a b 不全为零 c d e f 2 用平面z k去截割 要求 k c 得椭圆 当 k c时 k 越大 椭圆越小 当 k c时 椭圆退缩成点 2 几种常见二次曲面 1 椭球面 1 用平面z 0去截割 得椭圆 3 类似地 依次用平面x 0 平面y 0截割 得椭圆 特别 当a b c时 方程x2 y2 z2 a2 表示球心在原点o 半径为a的球面 2 椭圆抛物面 1 平面z k k 0 截割 截线是平面z k上的椭圆 k 0时 为一点O 0 0 0 随着k增大 椭圆也增大 2 用平面y k去截割 截线是抛物线 3 类似地 用平面x k去截割 截线是抛物线 一 二阶行列式的概念 设有数表 a11 称数a11a22 a12a21为对应于数表 1 的二阶行列式 记为 1 副对角线 主对角线 1 定义1 a12 a21 a22 1n阶行列式的定义 当a11a22 a12a21 0时 得唯一解 2 二元一次方程组的求解公式 记 方程组 1 的解可以表示为 克莱姆 Gramer 法则 2 引进记号 称为对应于数表 3 的三阶行列式 二 三阶行列式 1 定义2 设有数表 3 主对角线 副对角线 例如 易证 对于线性方程组 当 方程组有唯一解 记 则方程组 4 的解为 克莱姆法则 三 排列与逆序数 由自然数1 2 n组成的一个有序数组i1 i2 in称为一个n级排列 例如 由1 2 3可组成的三级排列共有3 6个 它们是 n级排列的总数为n 个 定义3 321 123 132 213 231 312 一个排列中 若较大的数is排在较小的数it的前面 is it 时 称这一对数isit构成一个逆序 一个排列中逆序的总数 称为它的逆序数 记为 i1 i2 in 简记为 132 123 0 312 2 45213 7 例如 213 312 4 将一个排列中两个位置上的数互换 而其余不动 则称对该排列作了一次对换 653124 623154 11 8 1234 1432 例如 0 3 定理1每一个对换改变排列的奇偶性 结论 在n 2 级排列中 奇偶排列各有个 四 n阶行列式的定义 分析 0 2 2 3 1 1 类似地 n阶行列式 定义4 例1计算下列n阶行列式 0 0 0 行排列 列排列 考察 定理2n阶行列式的定义也可写成 推论 例2 选择i和k 使 成为5阶行列式中一个带负号的项 解 若取i 1 k 4 故i 4 k 1时该项带负号 可将给定的项改为行标按自然顺序 即 则 15243 4 是偶排列 该项则带正号 对换1 4的位置 一 行列式的性质 性质1 将行列式的行 列互换 行列式的值不变 即 D DT 行列式DT称为行列式D的转置行列式 2行列式的性质 则 证 显然有bij aji i j 1 2 n 则 设行列式DT中位于第i行 第j列的元素为bij 性质2互换行列式的两行 列 行列式仅改变符号 则D M 证 在M中第p行元素 第q行元素 D 推论1 若行列式中有两行 列 对应元素相同 则行列式为零 证明 交换行列式这两行 有D D 故D 0 性质3若行列式某一行 列 的所有元素都乘以数k 等于该行列式乘以数k 即 证明 推论2 若行列式中的某行 列 全为零 则行列式为零 推论3 若行列式中有两行 列 的对应元素成比例 则该行列式为零 性质4若行列式中某一行 列 的各元素都是两个数的和 则该行列式等于两个行列式的和 即 证明 性质5把行列式的某一行 列 的各元素乘以数k后加到另一行 列 的对应元素上去 行列式的值不变 即 用ri表示D的第i行 cj表示D的第j列 ri rj表示交换i j两行 ri k表示第i行乘以k ri krj表示第j行乘以k加到第i行 ri k表示第i行提出公因子k 记号 例1计算行列式 解 例2计算行列式 解 D r4 5r1 例3 计算 解 x x x x x x 在n阶行列式 余下的元素按原来顺序构成的一个n 1阶行列式 称为元素aij的余子式 记作Mij 中 划去元素aij所在的行和列 3行列式按行 列 的展开与克莱姆法则 1 定义1 例如 在四阶行列式 中 a23的余子式M23和代数余子式A23 分别为 考察三阶行列式 其中 A11 A12 A13分别为a11 a12 a13的代数余子式 三阶行列式可用其二级子式的线性组合表示 考察三阶行列式 其中 A11 A12 A13分别为a11 a12 a13的代数余子式 三阶行列式可用其二级子式的线性组合表示 再考察二阶行列式 二阶行列式也可由其子式的组合表示 例3 计算三阶行列式 解 D 还可看出 0 84 12 72 D 36 24 60 72 D 84 12 24 72 D 以及 定理1 Laplace展开定理 行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 或 即 证明步骤 证 证 解 例4用Laplace展开定理求例2 2 例5证明四阶范德蒙行列式 证 r3 x2r2 r2 x2r1 推论 n阶范德蒙 Vandermonde 行列式 定理2行列式的任一行 列 的各元素与另一行 列 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 或 即 综合定理1和定理2 得 或 定理3 克莱姆法则 的系数行列式 设线性方程组 二 克莱姆法则 其中Di i 1 2 n 是用常数项b1 b2 bn代替D中第i列各元素而得到的n阶行列式 即 则方程组 1 有唯一解 且解可表示为 i 1 2 n 例3解线性方程组 解 方程组的系数