中考复习讲义：三种构造辅助圆解题的模型.doc

中考热点:三种构造辅助圆解题的模型一、问题导读“圆”是一个完美的图形，在初中数学中具有丰富内容，其中大部分是与角度相关性质，如在圆周角中能轻易找到，等角和直角并与圆心角联系也比较紧密 ，通过在图形中构造辅助圆往往能获得意想不到的效果，如果题目中出现了以下条件：三点及三点以上到同一点距离相等，作辅助圆；同一侧有相等的角，或者需要构造出相等的角时，作辅助圆；若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆在这些情况下，借助圆去解决一些问题都是非常好的一个选择，下面举例说明这三种构造辅助圆解题的模型应用。二、典例精析类型1根据共端点等线段模型，根据圆的定义构造圆1.如图，已知OAOBOC，且AOBkBOC，则ACB是BAC的（）Ak/2倍 Bk倍 C2k D1/k【分析】由OAOBOC，得到A，B，C在以O为圆心的同一个圆上，则AOB2ACB，BOC2BAC，而AOBkBOC，即可得到ACBkBAC【解答】OAOBOC，A，B，C在以O为圆心的同一个圆上，如图，AOB2ACB，BOC2BAC，而AOBkBOC，即2ACBk2BAC，ACBkBAC故选：B2.如图，在RtABC中，C90，AC6，BC8，点F在边AC上，并且CF2，点E为边BC上的动点，将CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）A1.5 B1.2 C2.4 D以上都不对【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PFFC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FPAB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可【解答】如图所示：当PEAB在RtABC中，C90，AC6，BC8，由勾股定理可求得AB10，由翻折的性质可知：PFFC2，FPEC90PEAB，PDB90由垂线段最短可知此时FD有最小值又FP为定值，PD有最小值又AA，ACBADF，AFDABCAF/AB=DF/BC，即4/10=DF/8，解得：DF3.2PDDFFP3.221.2故选：B3.如图2所示,在凸四边形ABCD中,AB=BC=BD,ABC=80,则ADC的度数为_度【解析】ABBCBD，得到A，C，D在以B为圆心的同一个圆上，ACD=1/2ABD, DAC=1/2DBC,ABC=ABD +DBC =80,ACD+DAC=1/2ABD+1/2DBC=1/2(ABD+DBC)= 1/280=40,ADC180（DAC+ACD）18040140故答案为：1404. 如图，在四边形ABCD中，ABACAD，若BAC25，CAD75，则BDC 度，DBC_度【解析】法一：ABACAD，点B，C，D在以A为圆心的圆上，BAC25，BDC1/2BAC12.5，CAD75，DBC1/2CAD37.5故答案为：12.5，37.5法二：ABACAD，ADBABD，ACBABC，ADCACD，BAC25，CAD75，ACB（18025）277.5，DABDAC+CAB100，ADCACD（18075）252.5，ADB（180100）240，BDCADCADB52.54012.5，DCBDCA+ACB52.5+77.5130，DBC180DCBBDC18013012.537.5BDC12.5，DBC37.5类型2 直角模型，依据直径所对的圆周角是直角，构造三角形的外接圆解题5. 如图所示，矩形ABCG与矩形CDEF全等，点BCD在一条直线上，APE的顶点P在线段BD上移动，使得APE为直角的点P的个数是_个【分析】APE的顶点P在线段BD上移动，且APE为直角，点P也在以AE为直径的O的圆上运动；以AE为直径作O，O与BD的交点即为所求【解答】点BCD在一条直线上，APE的顶点P在线段BD上移动，APE为直角，点P在以AE为直径的O的圆上运动，点P就是O与BD的交点，由图示知，BD与O有2个交点故答案为：2【点评】本题主要考查了圆周角定理：直径所对的圆周角是直角解答该题时，采用了“数形结合”的数学思想6. 已知：如图，直尺的宽度为2，A、B两点在直尺的一条边上，AB6，C、D两点在直尺的另一条边上若ACBADB90，则C、D两点之间的距离为_【分析】由ACBADB90，根据90的圆周角所对的弦是直径，可得A，B，C，D在以AB为直径的圆上，C，D即是此圆与直尺的交点，设E为AB中点，可得EC是半径为3，然后作EFCD交CD于F，根据垂径定理可得：CD2CF，然后由勾股定理求得CF的长，继而求得答案【解答】设E为AB中点，ACBADB90，A，B，C，D在以AB为直径的圆上，连接DE，CE，则CEDE1/2AB3，作EFCD交CD于F，CD2CF，ABCD，EF2，在RtCFE和RtDFE中，CF5，CD25故答案为：25【点评】此题考查了圆周角定理，垂径定理以及勾股定理等知识此题拿度适中，解题的关键是由ACBADB90，根据90的圆周角所对的弦是直径，得到A，B，C，D在以AB为直径的圆上7. 已知RtABC中，AC5，BC12，ACB90，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）（1）如图，当PQAC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；（2）当PQ与AC不平行时，CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由【分析】（1）根据平行线等分线段定理得到点P是斜边的中点，再直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，要求线段CP的长，只需根据勾股定理求得AB的长（2）若PQ与AC不平行，则要使CPQ成为直角三角形只需保证CPQ90根据直径所对的圆周角是直角，则分析以CQ为直径的圆和斜边AB的公共点的情况：一是半圆和AB相切；二是半圆和AB相交首先求得相切时CQ的值，即可进一步求得相交时CQ的范围【解答】（1）在RtABC中ACB90，AC5，BC12，AB13；Q是BC的中点，CQQB；又PQAC，APPB，即P是AB的中点，RtABC中，CP13/2（2）当AC与PQ不平行时，只有CPQ为直角，CPQ才可能是直角三角形以CQ为直径作半圆D，当半圆D与AB相切时，设切点为M，连接DM，则DMAB，且ACAM5，MBABAM1358；设CDx，则DMx，DB12x；在RtDMB中，DBDM+MB，即（12x）x+8，解之得x10/3，CQ2x20/3；即当CQ20/3且点P运动到切点M位置时，CPQ为直角三角形当20/3CQ12时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，CPQ为直角三角形当0CQ20/3时，半圆D与直线AB相离，即点P在AB边上运动时，均在半圆D外，CPQ90，此时CPQ不可能为直角三角形当20/3CQ12时，CPQ可能为直角三角形8.已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0),B(4,0),抛物线y=ax+bx-2过点A,B,顶点为C,点P(m,n)为抛物线上一点,其中n0.(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;(2)当APB为钝角时,求m的取值范围.【分析】（1）利用待定系数法求出解析式，再利用x0得出y的值即可得出C点坐标（2）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在C的内部时，满足APB为钝角，进而得出m的取值范围；解:(1) （1）抛物线yax+bx2（a0）过点A，B，a-b-2=0, 16a+4b-2=0，解得：a=1/2, b=-3/2，抛物线的解析式为：y1/2x3/2x2，当x0时，y2，C（0，2）；(2)A(-1,0),B(4,0),抛物线与y轴的交点D的坐标为(0,-2),如图，抛物线的对称轴与x轴的交点为M(3/2,0),AD=1+2=5,AB=(4+1) =25,BD=4+2=16+4=20,则AD+BD=AB,由勾股定理的逆定理,知ABD是直角三角形,ADB=90,以M为圆心,以MA为半径作圆,则M经过点D,则M内抛物线上的所有的点都可以是P点,且使APB为钝角,根据抛物线及圆的对称性,M与抛物线的另一个交点坐标为(3,-2),则满足条件的m的取值范围为:-1m0或3m4.类型3四点共圆模型(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆；(2)动点对定线段所张的角为定值.9. 如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），其中mn0点P为x轴正半轴上的一个动点，当APB达到最大时，直接写出此时点P的坐标_【解析】当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，对应的APB最大，根据垂径定理和勾股定理即可求解当以AB为弦的圆与x轴正半轴相切时，作CDy轴，连接CP、CBA的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），10. 在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（6，0），点C是y轴上的一个动点，当BCA45时，点C的坐标为_【分析】如解答图所示，构造含有90圆心角的P，则P与y轴的交点即为所求的点C注意点C有两个【解答】设线段BA的中点为E，点A（4，0）、B（6，0），AB10，E（1，0）（1）如答图1所示，过点E在第二象限作EPBA，且EP1/2AB5，则易知PBA为等腰直角三角形，BPA90，PAPB52；以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作P，与y轴的正半轴交于点C，BCA为P的圆周角，BCA1/2BPA45，即则点C即为所求过点P作PFy轴于点F，则OFPE5，PF1，在RtPFC中，PF1，PC52，由勾股定理得：CF7，OCOF+CF5+712，点C坐标为（0，12）；（2）如答图2所示，在第3象限可以参照（1）作同样操作，同理求得y轴负半轴上的点C坐标为（0，12）综上所述，点C坐标为（0，12）或（0，12）故答案为：（0，12）或（0，12）【点评】本题难度较大由45的圆周角联想到90的圆心角是解题的突破口，也是本题的难点所在11. 已知ABC是等腰直角三角形，ACBC2，D是边AB上一中点，将CAD绕C逆时针向旋得到CEF，其点E是点A的对应点，点F是点D的对应点DF与AE交于点M；当从90变化到180时，点M运动的路径长为_【分析】先证明A、D、M、C四点共圆，得到CMFCAD45，即可推出点M在以AC为直径的O上，运动路径是弧CD，利用弧长公式即可解决问题【解答】CACE，CDCF，CAECEA，CDFCFDACDECF，ACEDCF，2CAE+ACE180，2CDF+DCF180，CAECDF，A、D、M、C四点共圆，CMFCAD45，CMD180CMF135（补充：不用四点共圆的方法：由OACODM，推出AODCOM，推出OCMOAD，即可证明CMFCDM+DCMCAO+OADCAD45）O是AC中点，连接OD、CMADDB，CACB，CDAB，ADC90，A、D、M、C四点共圆，当从90变化到180时，点M在以AC为直径的O上，运动路径是弧CD，【点评】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、平行线的判定和性质、弧长公式、四点共圆等知识，解题的关键是发现A、D、M、C四点共圆，最后一个问题的关键，正确探究出点M的运动路径，记住弧长公式，属于中考压轴题三、总结提升圆是我们初中阶段学习的唯一一个曲线图形，除了它本身的基本性质和计算常被考察到以外，还可以用作辅助线。除了我们已知一条线段进行等腰三角形和直角三角形所使用的“两圆一垂”和“两垂一圆”以外，在涉及到一些动点相关的最值问题时，也特别常用，这时候我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆；有时题目中虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要用的圆)，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，画出来。上面讲述了常见的可以添加辅助圆的方法，具体归纳如下：1利用圆的定义添补辅助圆到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法简而言之，就是三点及三点以上到同一点距离相等，作辅助圆。2作三角形的外接圆任意不在同一直线上的三点共圆，但是我们最常见到的确实是利用圆周角定理的推论，直角三角形在以斜边为直径的圆上。3四点共圆(1)若一个