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加试模拟训练题（77）1 设p为abc内一点，apbacb=apcabc。又设d，e分别是apb及apc的内心。证明：ap，bd，ce交于一点。2.考察数列cn：c1=c1+c2+a8其中a1，a2，a8是不全为0的实数假定该数列中有无限多项cn=0求出所有使cn=0的自然数n3.在平面上给定六个点，其中任何三点都不在一直线上证明：在这六个给定的点中，可以挑出这样三个点，使得在这三个点构成的三角形中，有一个角不小于1204.设，求证：加试模拟训练题（77）1 设p为abc内一点，apbacb=apcabc。又设d，e分别是apb及apc的内心。证明：ap，bd，ce交于一点。证 如图，过p向三边作垂线，垂足分别为r，s，t。连rs，st，rt，设bd交ap于m，ce交ap于n。 易知p，r，a，s；p，t，b，r；p，s，c，t分别四点共圆，则 apbacb=pac+pbc=prs+prt=srt。 同理，apcabc=rst，由条件知srt=rst，所以rt=st。 又rt=pbsinb，st=pcsinc， 所以pbsinb=pcsinc，那么。 由角平分线定理知。 故m，n重合，即ap，bd，ce交于一点。2.考察数列cn：c1=c1+c2+a8其中a1，a2，a8是不全为0的实数假定该数列中有无限多项cn=0求出所有使cn=0的自然数n【题说】第九届（1967年）国际数学奥林匹克题5本题由原苏联提供【解】不妨设a1的绝对值为最大，则必有某个ai，满足ai=-a1（i1）否则，当n充分大时，不失一般性可设 a2=-a1所得的和cn仍然有无穷多个为0根据上面的推理，有（适当调整编号）：a3=-a4，a5=-a6，a7=-a8因而n为奇数时，cn=03.在平面上给定六个点，其中任何三点都不在一直线上证明：在这六个给定的点中，可以挑出这样三个点，使得在这三个点构成的三角形中，有一个角不小于120【题说】1958年匈牙利数学奥林匹克题1【证】 考虑这六点的凸包，它是一个凸多边形，顶点是这些已知点的全体或一部分设abc120，则a、b、c即为所求如果凸包是abc，那么有一已知点d在这三角形内adb、bdc、cda中必有一个120，结论成立如果凸包是四边形或五边形，用对角线将它们剖分为三角形，必有一个三角形中有已知点于是由上一种情形的讨论即得 4.设，求证：解析：设，要证
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