K.P方法计算应变量子阱空穴能级.doc

Spin-orbit-coupling effects on the valence-band structure of strained semiconductor quantum wellsCalvin Yi-Ping Chao and Shun Lien ChuangDepartment of Electrical and Computer Engineering, University of Illinois摘要：找到一组将66 Luttinger-Kohn 哈密顿量对角化为两个33块的酉变换，使得计算量子阱能带时更有效。使用这些公式，系统的研究了应变量子阱中重空穴、轻空穴和自旋轨道分裂耦合。给出应变对k空间能量表面的影响，给出包含与不包含自旋轨道分裂能带的结果。结果显示，自旋轨道分裂耦合对能带特别是高应变量子阱能态影响很明显，不能忽略。1. 简介应变可以是调整半导体能带参数的有力工具，在量子阱激光器，调制器，探测器等中有重要的应用。例如对于应变量子阱激光器，应变使得量子阱价带带边在k0处分裂，降低平面有效质量，从而降低态密度，降低阈值电流。各向同性(静水力学的)应变改变带隙，各向异性（单轴或切应变）使得价带在k0处简并分离。应变导致重空穴、轻空穴、自旋轨道分裂带额外的耦合，这些耦合在非应变量子阱计算中通常被忽略，但对于高应变量子阱，忽略这些耦合将导致计算能级误差几十个meV，有效质量误差高于30。本文的目的就是证明应变如何影响半导体价带能级，着重于重空穴、轻空穴、自旋轨道分裂带额外的耦合。使用的公式基于Luttinger-Kohn 哈密顿量和包络函数近似。以下第二部分研究应变体材料带边能量公式和有效质量。第三部分结合应变和量子效应，集中讨论应变量子阱的能级计算，在轴近似下，得到一组将66 Luttinger-Kohn 哈密顿量对角化为两个33块的酉变换，由这简单的哈密顿量，可以计算应变量子阱的能级。最后做讨论。2. 应变体半导体 基于Luttinger-Kohn的理论，还有Bir和Pikus的，应变半导体的价带能级在包络函数空间可以由以下66哈密顿量表示 （1）其中 , ,. （2）其中波矢k被当作微分算符；是对称应变张量；g1，g2，g3是Luttinger参数；av，b和d是Bir-Pikus形变势（Ev-av (exx eyy ezz) ，av是价带的静压形变势能；-b (exx eyy 2ezz)/2，为切应变引起的能带偏移，其中为四方对称应变时的应变势能）；自旋轨道发生相互作用时，就会改变简并度，能带发生分裂，并且使价带发生变化。基函数表示区中心Bloch波函数，这里非应变价带顶能量设为零。本文的中心任务是证明应变如何影响能带结构，包括带边和有效质量，这些是表征半导体材料最重要的参数。集中研究重空穴，轻空穴和自旋轨道分裂的耦合。对于大多数的族半导体材料，自旋轨道分裂带在重轻空穴带以下几百meV，而通常只需考究几十meV附近能带，所以自旋轨道分裂带的影响经常被忽略，这种情况下，重、轻空穴能带近似由以下44哈密顿量表示 （3）方程（1）中，哈密顿量H写成任意应变形式，对于简单的双轴应变, （4）因此，,实际上覆盖了两种主要的应变系统：一是应变半导体赝晶生长在（001）方向衬底上；二是体半导体材料在z轴上受到额外的单轴应变。对于晶格失配应变，我们得到, （5）分别是衬底和外延层的晶格常数，C11，C12弹性模量（硬度常数）。对于外部单轴压力，有， （6）其中T是外部沿z轴压力。材料参数如表1所示（注意带隙带阶）。如（1）或（3）式的哈密顿量，体半导体材料价带结构由以下代数方程表示 , （7）其中k现在是实际矢量，包络函数简化为平面波，对于44哈密顿量，方程（7）的解对于重空穴和轻空穴分别简化为 （8）每个解是二度简并的。注意式中包含符号因子是很重要的，因为可负（压应变）可正（张应变），而其平方根通常是正的。对于确定的有限的应变，上述色散关系对小的k展开为, （9）其中，从上式可以直接得到带边能量以及平行于或垂直于xy平面的有效质量, （10）,. （11）这就是众所周知的Hensel和Feher的结果。 若分裂带被包含到66的哈密顿量中，则（7）式所决定的E-k关系变成关于E的6阶多项式，显然，由于哈密顿量的对称性，它可以分解为两个一样的三次多项式。最终方程（7）简化为, （12）其中，, （13）带边能量可以从（12）式设k0求解得到, （14）在k0处，哈密顿量H实际上简化为 （15）显然，重空穴与其他能带不耦合，而轻空穴通过应变依赖非对角项和自旋轨道分裂的耦合，这一耦合在44近似中没有考虑，作为耦合的结果，对应于能量的本征矢由下式决定 （16）不是纯的轻空穴态，而是与自旋轨道耦合混合，耦合程度可以量化（百分比）。在有限k处能带混合更复杂，因为所有重空穴、轻空穴都耦合在一起，虽然写出（12）式普遍的、近似形式的解是可能的，但是冗长的表达式掩盖了应变依赖关系的本质。实际上，我们可以求解k0处的有效质量而不必求解三次方程。首先，对、微分方程（12）并注意所有、和在k0处的一阶微分为0，则得到 （17）代入并估算和在k0处的二阶微分，我们得到系列E的关于k二次方的展开式 （18）其中是无量纲的，应变依赖因子, （19）从（18）式，我们得到有效质量,. （20）有意思的是，注意到极限情况零应变下(=0,x=0)，1，0。这时从66哈密顿量中得到的有效质量与44哈密顿量得到的一样，可分别由式（11）、（20）计算得到不同组分量子阱的有效质量。通常，价带能量E不是k的抛物线函数，所以，由, （21）微分得到的有效质量不是常数，式（11）、（20）计算得到的是k0时的有效质量。对（12）式进行数值计算，可以得到应变体材料价带能量E和有效质量随、的变换关系。HH，LH的标志是与其带边特性为准的，对本计算结果可以看到应变对价带能级的影响主要有：1、由于应变静水力学形变势，总能量偏移；2、最初k0简并的能量分离、HH可以在LH上面或下面，取决于是压应变或是张应变；Ek关系的对称性从立方群O到群减弱。3. 应变量子阱 前面讨论的是应变体半导体价带结构是很用用的，但是其数值结果需小心讨论，事实上，高质量的应变层生长受到临界厚度的限制，临界厚度取决于晶格失配的大小，因此，边界条件和量子效应必须考虑进去。这一节主要讨论应变量子阱，假设生长沿z轴并且应变由于晶格失配引起并且在量子阱中是完全弹性的。价带能量和包络函数可以通过求解以下有效质量方程得到 （22）其中H是方程（1）的Luttinger-Kohn 哈密顿量，是空穴量子阱势能，包络函数分量具有以下形式,其中,. （23）写成这种形式的哈密顿量，（1）式中所有的形如以下的因子 and （24）被以下因子替换，来保证H是厄密共轭的 and . （25）量子阱与势垒边界条件可以从（22）式积分得到，或者可以通过考虑波函数空间电流密度的连续性得到。除非特殊情况，有效质量方程没有解析解，必须使用数值计算的方法。通常，能带和波函数不仅依赖于平面波矢的大小，也依赖于方位角，极坐标中，由于的依赖性，平面能量发生弯曲（各向异性），然而，弯曲大小比相邻能带差小的多，因此，忽略平面各向异性而不失能带混合的本质是有可行的。这种轴（或是拄）近似在使用44哈密顿量计算能带结构时候广泛应用。在使用轴近似下，44哈密顿量可以对角块分解成两个22哈密顿量。这里对66哈密顿量使用轴近似，同样可将66哈密顿量对角块分解成两个33哈密顿量，轴近似在计算量子阱激子束缚能量时特别有吸引力，它将二维激子方程简化为一维方程，使得数值计算变得更快。重写方程（1）的矩阵元 （26）轴近似实际上是观察矩阵元近似为 （27）则所有的能带能量将与无关，为了看得更清楚，z轴附近旋转坐标系角，并将基函数变为，方程（1）变成 （28）其中 （29）并假设。新的哈密顿量与具有相同的形式，其中和分别替换为和，注意和是厄米算符，而和不是。旋转坐标系后，发现的每个矩阵元与无关，其结果必然是能量也与无关，也就是，包络函数与有关，其中。轴近似最大的优势就是哈密顿量可以通过选取新的基函数进行块对角化 （30）通过简单的转换，最后得到块对角哈密顿量 （31）是的厄米共轭，原来6带耦合的（22）式简化成两个3带耦合的微分方程，对应于基函数和。如果势能具有反射对称，则只需求解一组方程，因为另一组得到相同的能量。因为新的基函数组只有与的耦合，我们仍然可以标记HH（重空穴）对应于基函数和，LH（轻空穴）对应于基函数和，SO（自旋轨道分裂）对应于基函数和。当忽略分裂带时，由哈密顿量得到22块哈密顿量 （32）为了研究SO耦合的影响，分别考虑计算哈密顿量和的能带结构。数值计算方法如文献24。首先，找到阱和垒中所有的平面波解，包络函数旋量写成每个区域平面波的线性组合。然后，能量以及线性组合系数由边界条件求解，边界条件要求下两式在量子阱和势垒界面连续 （33） （34）图6给出了量子阱k0处价带能带结构随组分x的变化，包含SO与不包含SO带，对轻空穴带产生了很大的影响，相反，重空穴不受SO耦合的影响。SO耦合不仅改变带边结构，也改变了能带结构。在图7（a，b，c）中，给出了能量E随的变换关系，对于有限，HH、LH都由于SO耦合而改变，被SO带往上推。应变对能带的影响具体参考文献24。对于非应变量子阱，第一重空穴一支在第一轻空穴之上，因为重空穴在沿生长方向上具有比较大的有效质量 （量子效应）。对于压应变量子阱，由于切形变势重空穴态往上移动而轻空穴态往下移动，张应变时，切形变势趋于将轻空穴态上移、重空穴下移，