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第四章 幂函数的积分运算本章所指的积分运算，包括下面两种情况：1 根据变量的速度公式（对微分运算而言是微分公式，对积分运算而言是原函数）求变量的变化量（即积分值）或者变化公式（即积分公式）；2 根据变量的速度数据（即变量的速度公式是未知的，根据其速度的测定数据进行运算）求变量的变化量或者变化公式。对于前一种情况，我们可以从微分公式逆向推导出积分公式（以下称之为逆向推导法）；对于后一种情况，我们可以先求出变量的速度公式，然后按前一种情况进行运算。另外我们还可以根据微分运算的增量递减法导出一种割距递减法。这种方法虽然计算工作量较大一些，但在计算机已经普及的今天来说，只要不是无穷大，就不能算是很大的问题。下面我们就分别介绍该两种方法。4-1 逆向推导法对于微积分运算来说，前者是指根据变量的变化量求变化速度的问题，后者是指根据变量的变化速度求变化量的问题。这也就是说，积分运算中的原函数就是微分运算中的微分公式，积分运算中的积分公式就是微分运算中的原函数。因此，对于积分运算来说，如果原函数的函数公式是已知的，则我们可以根据微分运算中微分公式与原函数的关系，从积分运算的原函数推导出积分公式。因为这种推导，实际上也就是根据微分公式逆向推导出微分运算的原函数的问题。所以，我们将其称之为逆向推导法。该方法适合于原函数的幂通式为已知时使用，如果是未知的，应先求出其幂通式。在上一章的介绍中，我们已经知道，在微分运算中，如果原函数=axn，则其微分公式（导函数）= anxn-1。该两式的关系式为= axnanxn-1。根据上述关系式，微分运算中的原函数等于微分公式增加1次幂，再除以它的指数。为与积分运算相适应，现在，我们令微分公式= axn，于是我们有=。这就是微分公式= axn时的原函数；也就是积分运算中，原函数=axn时的积分公式。因此，当原函数=axn时，=，（式4-2-1-1）这就是幂函数的积分公式。式中系数a为任意实数，指数n为任意正整数。下面，我们计算几个例题。例题4-2-1-1：求=4x33x22x+5的积分公式？解：该例题是一个高次多项式，我们必须逐项求出它的积分公式，然后相加。现在我们将各项的积分公式依次设为1、2、3、4。1 首先求最高项4x3的积分公式。将其系数4和指数3代入（式4-2-1-1）得1=x4，这是例题最高项的积分公式。2 再求次高项-3x2的积分公式。将其系数3和指数2代入（式4-2-1-1）得2=x3，这是例题次高项的积分公式。3 将第三项2x的系数2和指数1代入（式4-2-1-1）得3=x2，这是例题第三项的积分公式。4 例题的第四项（最低项）5是一个常数项，将它改写成幂函数时是5x0。将其系数5和指数0代入（式4-2-1-1）得4=5x，这是例题第四项的积分公式。5 将上述4项的积分公式按原函数的运算符号连接起来，= x4x3x25x，这就是根据例题计算出来的积分公式。答：原函数=4x33x22x+5的积分公式= x4x3x25x。例题4-2-1-2：求任意幂函数=a1x5+a2x4+a3x3+a4x2+a5x+a6x0(a1、a2、a5、a6均为任意常数)，的积分公式？解：该例题是一个高次多项式，我们必须逐项求出它的积分公式，然后相加。现在我们将各项的积分公式依次设为1、2、3、4、5、6。1 首先求最高项a1x5的积分公式。将其系数a1和指数5代入（式4-2-1-1）得1=，这是例题最高项的积分公式。2 再求次高项a2x4的积分公式。将其系数a2和指数4代入（式4-2-1-1）得2=这是例题次高项的积分公式。3 将第三项a3x3的系数a3和指数3代入（式4-2-1-1）得3=，这是例题第三项的积分公式。4 将第四项a4x2的系数a4和指数2代入（式4-2-1-1）得4=，这是例题第四项的积分公式。5 将第五项a5x的系数a5和指数1代入（式4-2-1-1）得5=，这是例题第五项的积分公式。6 将第六项（最低项）a6x0的系数a6和指数0代入（式4-2-1-1）得6=a6x，这是例题第六项的积分公式。7 将上述6项的积公公式按原函数的运算符号连接起来，=+ a6x，这就是根据例题计算出来的积分公式。答：原函数=a1x5+a2x4+a3x3+a4x2+a5x+a6x0的积分公式=+ a6x。例题4-2-1-3：设测得某变量的自变量依次为0、1、2、3、4、5时，其因变量依次为1、3、8、10、13、31。试求其积分公式？解：用逆向推导法解该题，须先求出该变量的通式，然后逐项求其积分公式。1 根据题意，求该变量通式的计算依据如下2 建立因变数列的高阶增长数阵，以确定其首数列。因变列：1、3、8、10、13、31一增列：2、5、2、 3、18二增列：3、-3、1、15三增列：-6、4、14。四增列：10、10。根据该高阶增长数阵，列题因变数列的首数列为2、3、-6、10。3 根据上述因变数列的首数列求出通式的最高项，并将通式最高项的首数列从因变数列的首数列中减出。因为其最高首数10是第四阶，所以，通式最高项的指数为4。即通式的最高项为A0X4。（A0为待定常数）因为A=；标准幂数列的最高首数=N！。因为通式最高项的指数为4，最高首数为10，所以最高项的系数A0=。现在，我们已经求出假定条件下通式的最高项为：X4。根据2-5节式2-5-7，若因变数列可以由一个单项幂函数所给定，则因变数列的首数列=A同次标准幂数列的首数列。通式的最高项当然是一个单项幂函数。因为A0=，所以，我们有通式最高项的首数列=同次标准幂数列的首数列。因为该最高项的幂指数是4，根据标准幂数列首数表4行，其标准幂数列的首数列为1、14、36、24。所以：通式最高项的首数列=(1、14、36、24)。因为：1=；14=5；36=15；24=10。所以最高顶的首数列为：、5、15、10。将因变数列的首数列减去该最高项的首数列：(2、3、-6、10)(、5、15、10)。2=1；35=-2；-615=-21；1010=0。其剩余首数列为1、-2、-21。4 根据上述剩余首数列求出通式的次高项，并将次高项的首数列从上述剩余首数列中减去。上述剩余首数列中已经不再包含通式最高项的首数列，根据它再求出的通式最高项，实际上已是通式的次高项。因为该剩余首数列的最高首数-21是第三阶，所以，它是分离出去通式最高项后，第三阶增长数列的首数，所以，通式次高项的指数为3。即通式的次高项为A1X3。（A1为待定常数）与上述同理，A1=-3.5。通式的次高项为-3.5X3。与上述同理，通式次高项的首数列=-3.5同次标准幂数列的首数列。因为该次高项的幂指数是3，根据标准幂数列首数表3行，其标准幂数列的首数列为1、6、6。所以：通式次高项的首数列=-3.5 (1、6、6)。因为：-3.51=-3.5；-3.56=-21；-3.56=-21；所以次高顶的首数列为：-3.5、-21、-21。将上述剩余首数列再减去该次高项的首数列：(1、-2、-21)(-3.5、-21、-21)。1-3.5=5；-2-21=18；-21-21=0；其剩余首数列为5、18。5 再根据上述剩余首数列求出通式的第三高项，并将第三高项的首数列从上述剩余首数列中减去。上述剩余首数列已经不再包含通式最高项和次高项的首数列，根据它再求出的通式最高项，实际上已是通式的第三高项。因为该剩余首数列的最高首数18是第二阶，所以，它是分离出去通式最高项和次高项后，第二阶增长数列的首数，所以，通式第三高项的指数为2。即通式的第三高项为A2X2。（A2为待定常数）与上述同理A2=9。通式的第三高项为9X2。与上述同理，通式第三高项的首数列=9同次标准幂数列的首数列。因为该第三高项的幂指数是2，根据标准幂数列首数表2行，其标准幂数列的首数列为1、2。所以：通式第三高项的首数列=9(1、2)。因为：91=9；92=18；所以第三高顶的首数列为：9、18。将上述剩余首数列再减去该第三高项的首数列：(5、18)(9、18)。59=-4；1818=0。其剩余首数列为-4。6 再根据上述剩余首数列求出通式的第四项，并将通式第四项的首数列从上述剩余首数列中减去。上述剩余首数列中已经不再包含通式前三项的首数列，根据它再求出的通式最高项，实际上已是通式的第四项。因为该剩余首数列的最高首数-4是第一阶，所以，它是分离出去通式前三项后，第一阶增长数列的首数，所以，通式第四项的指数为1。即通式的第四高项为A3X。（A3为待定常数）与上述同理A3=-4。通式的第四项为-4X。与上述同理，通式第四高项的首数列=-4同次标准幂数列的首数列。因为该第四高项的幂指数是1，根据标准幂数列首数表1行，其标准幂数列的首数列为1。所以：通式第四高项的首数列：-41=-4。所以第四高顶的首数列为：-4。将上述剩余首数列再减去该第四高项的首数列：-4-4=0。这就是说分离出去第四高项的首数列后，因变数列的首数列已经不再有剩余数列。这也就是说，因变数列的通式已经不再有其它变数项。下面是该例题的首数列分离数阵。阶 号： 1 2 3 4因变首数列： 2、 3、 -6、 10。高项首数列：、5、 15、10。累减剩余列：1、-2、-21、 0。次项首数列：-3.5、 -21、-21。累减剩余列：5、18、 0。三项首数列：9、18。累减剩余列：。-4、 0四项首数列：。-4累减剩余列： 0。因为本例题的自变数列符合标准，故通式各项的系数均等于它的第一首数，指数则与其最高首数的阶号相同。至此，我们求出假定条件下的通式为：F(X)=X4-3.5X3+9X2-4X+c。（c为待定常数）因为本例题的自变数列符合标准，所以c=y0=1至此我们求得例题的通式为：F(X)=X4-3.5X3+9X2-4X+1。下面我们就继续求该公式的积分公式。该是一个高次多项式，我们必须逐项求出它的积分公式，然后相加。现在我们将各项的积分公式依次设为1、2、3、4。7 首先求最高项X4的积分公式。将其系数和指数4代入（式4-2-1-1）得1=，这是例题最高项的积分公式。8 再求次高项-3.5X3的积分公式。将其系数-3.5和指数3代入（式4-2-1-1）得2=，这是例题次高项的积分公式。9 再求三高项9X2的积分公式。将其系数9和指数2代入（式4-2-1-1）得2=3x3，这是例题次高项的积分公式。10 将第四项-4x的系数-4和指数1代入（式4-2-1-1）得3=-2x2，这是例题第三项的积分公式。11 例题的第五项（最低项）1是一个常数项，将它改写成幂函数时是1x0。将其系数1和指数0代入（式4-2-1-1）得4=x，这是例题第五项的积分公式。12 将上述五项的积公公式连接起来，=3x32x2x这就是根据例题计算出来的积分公式。答：例题的积分公式=3x32x2x。例题4-2-1-4：设测得某变量的自变量依次为3、5、7、9、11、13时，其因变量依次为2、4、8、13、17。试求其积分公式？解：用逆向推导法解该题，须先求出该变量的通式，然后逐项求其积分公式。1 根据题意，求该变量通式的计算依据如下2 假定自变数列符合标准。即假定上述计算依据为3 建立因变数列的高阶增长数阵，以确定其首数列。因 变 数 列 2、 4、 8、 13、 17、17；第一阶增长数列 2、 4、 5、 4、 0；第二阶增长数列 2、 1、 -1、 -4；第三阶增长数列 -1、-2、-3；第四阶增长数列 -1、 -1。根据该增长数阵，该因变数列的首数列为2、2、-1、-1。4 根据因变数列的首数列求出通式的最高项，并将通式最高项的首数列从因变数列的首数列中减出。因为上述首数列的最高首数-1是第四阶，所以，通式最高项的指数为4。即通式的最高项为A0X4。（A0为待定常数）因为A=；标准幂数列的最高首数=N！。因为通式最高项的指数为4，最高首数为-1，所以最高项的系数A0=。现在，我们已经求出假定条件下通式的最高项为：X4。根据2-5节式2-5-7，若因变数列可以由一个单项幂函数所给定，则因变数列的首数列=A同次标准幂数列的首数列。通式的最高项当然是一个单项幂函数。因为A0=，所以，我们有通式最高项的首数列=同次标准幂数列的首数列。因为该最高项的幂指数是4，根据标准幂数列首数表4行，其标准幂数列的首数列为1、14、36、24。所以：通式最高项的首数列= (1、14、36、24)。因为：1=；14=；36=-1.5；24=-1。所以最高顶的首数列为：、-1.5、-1。将因变数列的首数列减去该最高项的首数列：(2、2、-1、-1)(、-1.5、-1)。2=2；2=2；-1-1.5=0.5；-1-1=0。其剩余首数列为2、2、0.5。5 根据上述剩余首数列求出通式的次高项，并将次高项的首数列从上述剩余首数列中减去。因为上述剩余首数列的最高首数0.5是第三阶，所以，它是分离出去通式最高项后，第三阶增长数列的首数，所以，通式次高项的指数为3。即通式的次高项为A1X3。（A1为待定常数）与上述同理，A1=。假定条件下通式的次高项为X3。与上述同理，通式次高项的首数列=同次标准幂数列的首数列。因为该次高项的幂指数是3，根据标准幂数列首数表3行，其标准幂数列的首数列为1、6、6。所以：通式次高项的首数列=(1、6、6)。因为：1=；6=；6=；所以次高顶的首数列为：、。将上述剩余首数列再减去该次高项的首数列：(2、2、0.5)(、)。2=1；2=2；0.5=0；其剩余首数列为1、2。6 再根据上述剩余首数列求出通式的第三高项，并将第三高项的首数列从上述剩余首数列中减去。因为上述剩余首数列的最高首数2是第二阶，所以，它是分离出去通式最高项和次高项后，第二阶增长数列的首数，所以，通式第三高项的指数为2。即通式的第三高项为A2X2。（A2为待定常数）与上述同理A2=1假定条件下通式的第三高项为1X2。与上述同理，通式第三高项的首数列=1同次标准幂数列的首数列。因为该第三高项的幂指数是2，根据标准幂数列首数表2行，其标准幂数列的首数列为1、2。所以：通式第三高项的首数列=1(1、2)。因为：11=1；12=2；所以第三高顶的首数列为：1、2。将上述剩余首数列再减去该第三高项的首数列：(1、2)(1、2)。11=；22=0。其剩余首数列为。7 再根据上述剩余首数列求出通式的第四项，并将通式第四项的首数列从上述剩余首数列中减去。因为上述剩余首数列的最高首数是第一阶，所以，它是分离出去通式前三项后，第一阶增长数列的首数，所以，通式第四项的指数为1。即通式的第四高项为A3X。（A3为待定常数）与上述同理A3=。假定条件下通式的第四项为X。与上述同理，通式第四高项的首数列=同次标准幂数列的首数列。因为该第四高项的幂指数是1，根据标准幂数列首数表1行，其标准幂数列的首数列为1。所以：通式第四高项的首数列：1=。所以第四高顶的首数列为：。将上述剩余首数列再减去该第四高项的首数列：=0。这就是说分离出去第四高项的首数列后，因变数列的首数列已经不再有剩余数列。这也就是说，因变数列的通式已经不再有其它变数项。下面是该例题的首数列分离数阵。阶 号： 1 2 3 4；因变首数列： 2、 2、 -1、 -1；高项首数列：、-1.5、-1；累减剩余列：2、2、0.5、 0；次项首数列：、 、 ；累减剩余列：1、2、 0；三项首数列：1、2；累减剩余列： 、 0；四项首数列： ；累减剩余列： 0。如果例题的自变数列符合标准，则通式各项的系数均等于它的第一首数，指数则与其最高首数的阶号相同。至此，我们求出假定条件下的通式为：F(X)=X4+X3+1X2+X+C。（C为待定常数）但是，实际上，本例题的自变数列并不符合标准，且常数项C还有待确定，所以，下面我们还要进行两部运算。8 将自变数列的首项调整为0；令C=Y0将自变数列的首项调整为0，对于通式来说，只需将X替换为X-X0,因为本例题自变数列的首项X0=3。所以，上式变为：F(X-3)= (X-3)4+(X-3)3+1(X-3)2+(X-3)+C。因为当自变数列的首项等于0时，常数项C=Y0因为本例题因变数列的首项Y0=2。所以上式又变为F(X-3)= (X-3)4+(X-3)3+1(X-3)2+(X-3)+2。9 给求出的系数的分母添加HN因子，使系数与原题相符。因为本例题自变数列的公差H=2，因为当自变数列的公差H1，则系数A=。所以，我们应当给通式各项的系数添加一个HN分母（指数N分别与各项的指数相同），使系数与原题相符。因此，本例题的真正通式为F(X-3)=(X-3)4+(X-3)3+(X-3)2+(X-3)+2=(X-3)4+(X-3)3+(X-3)2+(X-3)+2下面我们就继续求该公式的积分公式。该是一个高次多项式，我们必须逐项求出它的积分公式，然后相加。现在我们将各项的积分公式依次设为1、2、3、4。7 首先求最高项(X-3)4的积分公式。将其系数、自变量x-3和指数4代入（式4-2-1-1）得1=，这是例题最高项的积分公式。8 再求次高项(X-3)3的积分公式。将其系数、自变量x-3和指数3代入（式4-2-1-1）得2=(x-3)4，这是例题次高项的积分公式。9 再求三高项(X-3)2的积分公式。将其系数、自变量x-3和指数2代入（式4-2-1-1）得2=(x-3)3，这是例题三高项的积分公式。10 将第四项(X-3)的系数、自变量x-3和指数1代入（式4-2-1-1）得3=(X-3)2，这是例题第三项的积分公式。11 例题的第五项（最低项）2是一个常数项，将它改写成幂函数时是2(x-3)0。将其系数2、自变量x-3和指数0代入（式4-2-1-1）得4=2(x-3)，这是例题第五项的积分公式。12 将上述五项的积公公式连接起来，=(x-3)4(x-3)3(X-3)22(x-3)。这就是根据例题计算出来的积分公式。答：例题的积分公式=(x-3)4(x-3)3(X-3)22(x-3)。逆向推导法是在已知原函数公式的情况下，求积分公式最为简捷的方法。如果要进一步求其自变量为某值时的积分值（即积分公式函数值），可以逐项求其函数值，然后求和。不过，那属于初等数学的范围，这里就不与介绍了。4-2 割距递减法因为微积分运算有一个非常重要的共同之处，那就是它们的运算都涉及到计算依据消失这样一个问题(即所谓的“极限”)，所以，微分运算的数学模型可以移植到积分运算中来。下面，我们首先给出积分运算的数学模型，然后介绍割距递减法。4-2-1 积分公式的改善传统的积分表示式如下：du1+ du2+ du3+ dun。积分运算可分为不定积分和定积分。前者是指根据变化速度求变量公式的运算，后者是指根据变化速度求某一局部范围变化量的运算。上述积分表示式是针对后者的。现在我们就按照该积分表示式的精神，来看一看定积分运算的实质。设我们要求x轴与曲线之间，自变量从a到b的面积(请参阅下面积分运算示意图一、二、三、四，其中积分运算示意图三中的阴影部分是我们要求的面积)，因为该面积有一条曲边， 积分运算示意图一 积分运算示意图二 积分运算示意图三 积分运算示意图四所以很不好计算。按照传统积分表示式的精神，我们首先将这块面积分割成自变量相等(即宽度相等)的若干小条(以下称微分小条)，逐条计算出它的面积（即du1、 du2、du3、 dun的值），然后将它们相加。不过，这样计算也有困难。因为各微分小条的两条竖边不相等，且斜边是一条曲线。对此，我们采取的措施是，各小条统一按各自的左竖边(如积分运算示意图一、二所示)或者右竖边(如积分运算示意图四所示)的长度，将各微分小条割(如积分运算示意图一、二所示) 补(如积分运算示意图四所示)成长方形，然后按割补成的长方形计算其面积。当然，这样计算出来的面积会小于(如积分运算示意图一、二所示)或者大于(如积分运算示意图四所示)实际面积（即小于或者大于积分运算示意图三中阴影部分的面积）。但是，计算面积与实际面积之差，与微分小条的宽度呈正相关（即各微分小条的宽度越大，其计算的误差就越大，各微分小条的宽度越小，其计算的误差就越小）。现在，我们不防设各微分小条的宽度为，如要求得精确的积分值，我们必须令=0。但是，因为0乘以任何数都等于0，所以，各微分小条的面积都变成了0。堂堂皇皇的积分运算且不变成了“无中生有”。这就是传统积分运算的困难；也是上述积分表示式需要使用一个符号（极限理论）来掩盖其无能的原因。实际上，使用极限理论来掩盖其无能，还有另一方面的困难，那就是，能不能将一条线段分割为0的问题？对此，我们可以从两方面来说，对于现实世界中的某一物体（例如一段木头），如果我们要对它进行分割，就必须要破坏它的一小段（例如一条锯缝）如果分割的段数足够多，是可以将它分割为0的（即所有锯缝的长度之和该段木头的长度）；但是，数学上的分割，是不考虑其破坏作用的，即=，所以，对于某一线段，无论你将它分成多少段，其长度之和是不会减少的。即n=ba。对此，我们的祖先早在两千多年前就已经作出结论：“三尺之杆，日取其半，万世不竭”。因此，企图通过加大n来使=0是不可能实现的（从语法上讲，是一个形容词，决非量词。它只能是一个可以无限发展的过程，现代数学将其作为一个数来进行运算，这绝对是错误的）。不过，积分运算与微分运算具有共同之处，前者是要求增量等于0的值；而后者是要求微分小条的宽度等于0的值。因此，我们可以将微分运算中的预先函数移植到积分运算中来（即令微分小条的宽度是一个变量，并用表示）。于是，我们有=(y0+y1+y2+ym-2+ym-1+ym)。式中的ab；为各微分小条的宽度，由=确定，且为了计算的方便，应尽可能取总数；y0、y1、y2、ym-2、ym-1、ym依次是各微分小条左竖边或者右竖边的长度(对原函数而言，是各微分小条起点的函数值，如积分运算示意图一、二所示，或者终点的函数值，如积分运算示意图四所示)；m是项的序号，可以是任意自然数。它就是我们将要介绍的进行积分运算的数学模型，以下我们将其简称为积分模型。4-2-2 对计算依据的相关规定根据上述积分模型进行积分运算， 我们应当首先提取求预先函数的计算依据，即由的不同值（数学上又称之为不同水平）所给定的一个有穷数列，并且，将=0这个无法直接计算出来的数(以下用“?”表示，不含“”号)，作为该数列的首项。即该数列为?、，对于该数列我们不防称之为预先数列。对预先数列的首项“?”，我们称之为预先数列的待定项；对预先数列除“?”以外的其它项，我们称之为预先数列的可计算项。积分运算的任务就是根据预先数列的可计算项、求预先数列的待定项“?”的值。因为这里我们是在研究幂函数的积分运算，所以，预先数列的自变数列（即微分小条的不同宽度）应当是一个等差递增数列。即=、=0、h、2h、3h、mh。该数列中的公差h为待定常数，应当0；系数m为正整数，它表示微分小条取m种不同的宽度（数学上称之为不同水平）。对于该数列，我们不防称之为预先自变数列。4-2-3 确定预先自变数列的公差h设我们要求的值，则我们称a,b为被积区间。因为微分小条只能是整条，所以，被积区间应当能被预先数列任何一项的自变量整除。换句话说，那就是，被积区间的长度必须是预先自变数列=0、h、2h、3h、mh的公倍数。非常明显，如果预先自变数列的公差h=1，那么，只要被积区间的长度（即b-a）是前m号正整数1、2、3、m的公倍数便可满足要求。只是，为了减少计算量，我们应当取该前m号正整数的最小公倍数。现在的问题是，被积区间不一定是前m号正整数的最小公倍数。这就需要我们根据被积区间与该前m号正整数的最小公倍数的比值来确定h的值。现在，我们不防设前m号正整数1、2、3、m的最小公倍数为j被积区间的长度为k，于是预先自变数列的公差h=。（式4-2-3-1）如m=4时，前m号正整数1、2、3、4的最小公倍数为j=12，若被积区间的长度为k=8，代入（式4-2-3-1），预先自变数列的公差h=1.5；又如m=5时，前m号正整数1、2、3、4、5的最小公倍数为j=60，若被积区间的长度为k=20，代入（式4-2-3-1），预先自变数列的公差h=。如可类推。4-2-4 确定微分分割的水平数m微分分割的水平数m，也就是预先数列可计算数项的项数。一般来说，m越大，前m号正整数的最小公倍数j就越大，隋m增长的情况如下表所示。最小公倍数j隋m增长情况表m234567j26126060420根据上述（式4-2-3-1）易知，在预先自变数列的公差h不变的情况下，j越大，需要划分的微分小条就越多，求各微分小条面积所需要的计算也就越多。因此，从减少计算量这个角度来说，我们希望微分分割的水平数m尽可能的小。但是如果m太小，当我们建立预先数列的高阶增长数阵时，常数列就不会出现。不出现常数项，计算出来的就只是积分的近似值，如要求精确值，必须重新划分微分小条，重新进行计算。这样作反而浪费了计算的工作量。一般来说，如果你能够估计出原函数的指数，那么，只要m不小于原函数的最高指数n就可以了。否则，为便于识别常数列，应本着m稍大于原函数最高指数n的原则，偿试性确定，以保证常数列只少有两个数项。4-2-5 例题计算这一节我们以两个例题的计算来介绍该方法。例题4-2-5-1：求未知变量自变量为06之间的积分值。解：根据题意，我们要求的是的值。因此，被积区间的长度k=ba=60=6。因为本例题的原函数是未知的，我们无法知道原函数的最高指数，因此，本着微分分割的水平数m应稍大于原函数最高指数n的原则，将微分分割的水平数暂定为4。根据上述最小公倍数j隋m增长情况表J=12，于是，预先自变数列的公差h=0.5。下面我们逐项求预先数列的值。1 我们首先来考虑=0时（即）的情况。因为任何数除6，其商都不可能是0。所以，的值，是不能直接计算出来的，所以，我们只能暂时用?表示。即=?。待预先数列的可计算项全都计算出来以后，再来求“?”的值。2 求=h时，预先函数的值（即预先数列的值）。因为h=0.5，故=h=0.5。被积区间60.5=12应均分为12个微分小条，每个微分小条的宽度为2。各微分小条的起止点依次如下：00.5、0.51、11.5、1.52、22.5、2.53、33.5、3.54、44.5、4.55、55.5、5.56。计算各微分小条的面积时，我们可以统一将其左竖边的长度（起点的函数值）作为微分小条长度，也可以统一将其右竖边的长度（终点的函数值）作为微分小条的长度。这里不妨统一将左竖边的长度作为微分小条的长度。即依次将原函数自变量为0、0.5、1、1.5、2、2.5、3、3.5、4、4.5、5、5.5。各点的函数值分别作为各微分小条的长度。因为原函数的公式是未知的，因此，上述各点的函数值（即各微分小条的长度）只能由测量来确定。经测量，上述12个点的函数值（即各微分小条左竖边的长度）依次为0、0.0625、0.5、1.6875、4、7.8125、13.5、21.4375、32、45.5625、62.5、83.1875。因此，预先数列的第一可计算数项=0.5（0+0.0625+0.5+1.6875+4+7.8125+13.5+21.4375+32+45.5625+62.5+83.1875）=0.5272.25=136.125。3 求=2h时，预先函数的值（即预先数列的值）。因为h=0.5，故=20.5=1，被积区间62h=61=6应均分为6个微分小条，每个微分小条的宽度为1。各微分小条的起止点依次如下：01、12、23、34、45、56。因为上面我们计算各微分小条的面积时，是将其左竖边作为微分小条的长度的，所以，对于本例题来说，这里及以后我们就都只能将它们的左竖边作为它们的长度。因此，我们依次将0、1、2、3、4、5。各点的函数值分别作为各微分小条的长度。根据上述测量结果，该6个点的函数值（即各微分小条左竖边的长度）依次为0、0.5、4、13.5、32、62.5。因此，预先数列的第二可计算数项=1（0+0.5+4+13.5+32+62.5）=112.5。4 求=3h时，预先函数的值（即预先数列的值）。因为h=0.5，故=30.5=1.5，被积区间63h=61.5=4应均分为4个微分小条，每个微分小条的宽度为1.5。各微分小条的起止点依次如下：01.5、1.53、34.5、4.56。将各微分小条的左竖边作为它们的长度。即将0、1.5、3、4.5各点的函数值依次分别作为各微分小条的长度。该4个点的函数值依次为0、1.6875、13.5、45.5625。因此，预先数列的第三可计算数项=1.5（0+1.6875+13.5+45.5625）=1.560.75=91.1255 求=4h时，预先函数的值（即预先数列的值）。因为n=0.5，故=40.5=2。被积区间64h=62=3应均分为3个微分小条，每个微分小条的宽度为2。各微分小条的起止点依次如下：02、24、46。将各微分小条的左竖边作为它们的长度。即将0、2、4各点的函数值依次作为各微分小条的长度。该3个点的函数值（即微分小条左竖边的长度）依次为0、4、32。因此，预先数列的第四可计算数项=2（0+4+32）=236=72至此，我们求得上述例题的预先数列为?、136.125、112.5、91.125、72。下一步我们就来求“?”的值。即，=0时，预先函数的值。因为我们是不可能用除法把任何一个非0的数分割为0的。所以，“?”的值，按上述的方法是计算不出来的。这就只能按照我们的积分表示式进行计算了。即根据预先数列的可计算项136.125、112.5、91.125、72。来求预先数列的待定项“?”的值，这可以有两条途径：1） 首先求出已知数据的通式，然后根据通式求“?”的值；2） 直接根据求已知数据通式的高阶增长数阵推算“?”的值。根据上一章的相关介绍，该两种方法的计算结果完全相同。只是，前者的计算量相对要大一些，所以，下面我们用后一种方法解题。现在我们来建立上述预先数列的高阶增长数阵。预先数列： ?、136.125、 112.5、91.125、72。增 列 一：?1、 -23.625、-21.375、-19.125。增 列 二：?2、 2.25、 2.25。该高阶增长数阵预先数列的第一数项“?”为未知数。因为增列一的各数项均是由因变数列的后一数（自变量较大的一数）减去前一数（自变量较小的一数）所产生的，所以136.125?= ?1，（式4-2-5-1）乃是一个未知数。同理-23.625?1=?2、（式4-2-5-2）也是未知数。不过，因为上述高阶增长数阵的第二阶增长数列是一个常数列，因此，我们可以推定：?2=2.25。将其代入（式4-2-5-2）并移项，得：?1=-23.6252.25=-25.875。将?1=-25.875代入（式4-2-5-1）并移项，得：?=136.125-25.875=162。将?=162代入上述高阶增长数阵验算一下：预先数列 162、 136.125、 112.5、 91.125、72。一阶增列 -25.875、 -23.625、-21.375、 -19.125。二阶增列 2.25、 2.25、 2.25。验算结果与预期相符。答：例题的例题4-2-5-1的积分值为162。例题4-2-5-2：求未知变量自变量为630之间的积分值。解：根据题意，我们要求的是的值。因此，被积区间的长度k=ba=306=24。因为本例题的原函数是未知的，我们无法知道原函数的最高指数，因此，本着微分分割的水平数m应稍大于原函数最高指数n的原则，将微分分割的水平数暂定为4。根据上述最小公倍数j隋m增长情况表J=12，于是，预先自变数列的公差h=2。下面我们逐项求预先数列的值。1 我们首先来考虑=0时（即）的情况。因为任何数除6，其商都不可能是0。所以，的值，是不能直接计算出来的，所以，我们只能暂时用“?”表示。即=?。待预先数列的可计算项全都计算出来以后，再来求“?”的值。2 求=h时，预先函数的值（即预先数列的值）。因为h=2，故=h=2。被积区间242=12应均分为12个微分小条，每个微分小条的宽度为2。各微分小条的起止点依次如下：68、810、1012、1214、1416、1618、1820、2022、2224、2426、2628、2830。计算各微分小条的面积时，我们可以统一将其左竖边的长度（起点的函数值）作为微分小条长度，也可以统一将其右竖边的长度（终点的函数值）作为微分小条的长度。这里不妨统一将右竖边的长度作为微分小条的长度。即依次将原函数自变量为8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30各点的函数值分别作为各微分小条的长度。因为原函数的公式是未知的，因此，上述各点的函数值（即各微分小条的长度）只能由测量来确定。经测量，上述12个点的函数值（即各微分小条右竖边的长度）依次为256、500、864、1372、2048、2916、4000、5324、6912、8788、10976、13500。因此，预先数列的第一可计算数项=2（256+500+864+1372+2048+2916+4000+5324+6912+8788+10976+13500）=257456=114912。3 求=2h时，预先函数的值（即预先数列的值）。因为h=2，故=22=4，被积区间242h=244=6应均分为6个微分小条，每个微分小条的宽度为4。各微分小条的起止点依次如下：610、1014、1418、1822、22