相似三角形

立足初中数学课堂，培养学科核心素养相似三角形的预备定理教学案例 晋城市实验中学 石娅娜一、 背景分析2016年我参加国培学习时最早接触到了一个词“数学核心素养”，2018年正式实施的最新高中数学课程标准明确提出六大数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。义务教育阶段的数学核心素养现在还没有开始正式讨论，但也离不开义务教育数学课程标准中提到的十个核心概念：数感、符号意识、推理能力、模型思想、几何直观、空间想象、运算能力、数据分析观念、应用意识和创新意识。这与高中数学六大核心素养基本对应。我们可以这样理解，数学抽象在义务教育阶段主要表现为符号意识和数感，推理能力即逻辑推理，模型思想即数学模型，直观想象就是几何直观和空间想象，还有两个超出数学范畴的一般素养，义务阶段强调的是应用意识和创新意识。本案例中我们着重说说几何直观和空间想象。相似三角形选自华师版九年级上第23章图形的相似23.3相似三角形第一课时，是相似图形的特殊化，是以比例线段为基础，相似三角形预备定理为相似三角形的判定和性质打下坚实的基础，是几何领域中的重要内容，对前后各部分知识起到纽带的作用。基于核心素养的要求，我们要重视几何直观能力培养，通过对图形位置关系与数量关系的观察、度量、计算、分析，利用图形探索解决问题的思路、预测结果等。二、 案例描述这个课时我在两个班就教材62页“做一做”环节做了不同的教学设计，后又在集团内部校际交流课上做了改进，该环节本是让学生通过测量和推理获得猜想，尽可能让学生通过观察计算，初步判断两个三角形相似。具体如下：班级一： 出示任务：“做一做”，限时5分钟;预期目标：学生经过测量得知，ADE=ABC, AED=ACB,AD/AB=AE/AC=DE/BC,从而得出ADEABC。实际情况：角的关系问题不大，测量或不测量都容易得出相等，但在边的关系上，由平行线分线段成比例的基本事实，可推出AD/AB= DE/BC，但预期的AD/AB= DE/BC中，却出现了问题，一部分人测量AD=1.3、AB=1.9、DE=1、BC=2，由于精确度取的不够，得出的结论是四条线段不成比例，所以两个三角形不相似；另一部分人牢记物理中测量要领，还要进行估测，所以陷入庞大的计算中出不来，即使好不容易出来了，虽然比例极其相近，却也不敢大胆猜想四条线段成比例，但由于目测两个三角形确实很相似，犹豫不定，小组内窃窃私语的声音逐渐响起来。班级二： 由于前车之鉴，我把三角形放入方格图中，以学案和课件出示任务 “做一做”，并把思考问题细化。问题（2）中，学生很快求出AD/AB=AE/AC=DE/BC =1/3，由（1）（2）可得两个三角形相似。（预期目标达到）班级三：（1） 出示任务“做一做”，限时5分钟；（果然班级一中发生的一切都重新发生了。）（2） 分析原因-测量不精确和计算不精确；（3） 解决办法-几何画板演示(无论三角形如何变动，甚至无论DE如何变动，四条线段长度发生了变化，但四条线段成比例这个结论不变，预期目标达到)三、 教学反思数学知识的形成依赖于直观，数学知识的确定依赖于推理，也就是说，在大多数情况下，数学的结果是“看”出来的而不是“证”出来的，所谓“看”是一种直觉判断，这种直觉判断建立在长期有效的观察和思考的基础上。我选择同一节课的同一环节深入研究，变换探讨情景，精心设计问题，引导学生观察和思考，在丰富的数学活动经历中积累自己的直观想象“经验”，悟出门道。我觉得我在贯穿直观想象核心素养的教学中收获和困惑并存。一、直观应是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识。班级一的教学中直接采用教材的设计，学生利用刻度尺和量角器测量，得出角相等，联想平行线同位角相等，确定两三角形中三角对应相等；但边的关系中，有的同学仅仅借助于刻度尺量得的数据，空有六段线段长度，什么也得不出来；有的同学由平行联想到平行线分线段成比例定理，发现其中四条线段成比例，又由于目测两个三角形相似，由相似的定义联想到剩下一对对应边的比也不变，但依据自己的测量和计算却得不出来，于是一部分人得出不相似的结论，另一部分人坚信相似，带着问题小组交流寻找原因，甚至按捺不住来问我到底是哪出了问题？找到测量和计算的原因后，陷入无法解决的僵局，因为即使老师亲自测量，结果还是三对线段的比值并不完全相同，仓促中只好告诉孩子们理论上相等，但我心里是沮丧的。我保留了教材上三角形的一般性，却也尝到了一般三角形带来的测量不便和计算不便，孩子们得出不相似的结论与预设背道而驰，最后的强行接受也只是因为相信老师。唉！二、从特殊到一般也是直观想象能力培养中的重要途径班级二中我吃一堑长一智，我摒弃了教材中的图，而采用了导学和课件展示“做一做”，由于所给三角形直接放在网格图中，所以同学们很快找到了边角关系，得出三角形相似的猜想。但课堂过于顺利也引起了我的反思，我设计的问题水到聚成，是不是会剥夺了孩子们应经历的困惑：别的三角形也会这样吗？我想我应该问题分层，让有能力的孩子在网格图中继续自由做三角形，然后探究结论是否相同？三、充分运用模型和多媒体信息技术辅助教学 数学直观想象的载体是“图形”，模型可以让学生直接接触到几何的知识，直观而有效。多媒体技术给学生展示丰富多彩的图形世界，提供直观的演示和展示，可以表现图形的直观变化，以解决学生的几何直观由直观到抽象的演进过程，扩大其空间视野。班级三中我利用几何画板进行动态课件交互，利用其强大软件的作图和计算功能，将原先难以做到的变为直观，为想象提供更高的平台和起点。既弥补了班级一中计算和测量不精确的问题，又弥补了班级二中三角形的特殊性问题，还