【最高考系列】（14年3月新版）高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第九章平面解析几何第5课时直线与圆的位置关系教学案（含最新模拟、试题改编）(1).doc

第九章 平面解析几何第5课时直线与圆的位置关系第十章考情分析考点新知掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的几何图形及其判断方法 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定的两个圆的方程，判断两圆的位置关系. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.1. 已知圆o：x2y24，则过点p(2，4)与圆o相切的切线方程为_答案：3x4y100或x2解析： 点p(2，4)不在圆o上， 切线pt的直线方程可设为yk(x2)4.根据dr， 2，解得k，所以y(x2)4，即3x4y100.因为过圆外一点作圆的切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为x2.2. (必修2p115练习1改编)已知圆(x1)2(y2)26与直线2xy50的位置关系是_答案：相交解析：由题意知圆心(1，2)到直线2xy50的距离d，0d，故该直线与圆相交但不过圆心3. (必修2p115练习4改编)若圆x2y21与直线ykx2没有公共点，则实数k的取值范围是_答案：(，)解析：由题意知1，解得k.4. 过直线xy20上点p作圆x2y21的两条切线，若两条切线的夹角是60，则点p的坐标是_答案：(，)解析：本题主要考查数形结合的思想，设p(x，y)，则由已知可得po(o为原点)与切线的夹角为30，则|po|2，由可得5. (必修2p107习题4改编)以点(2，2)为圆心并且与圆x2y22x4y10相外切的圆的方程是_答案：(x2)2(y2)29解析：设所求圆的方程为(x2)2(y2)2r2(r0)，此圆与圆x2y22x4y10，即(x1)2(y2)24相外切，所以2r，解得r3.所以所求圆的方程为(x2)2(y2)29.1. 直线与圆的位置关系(1) 直线与圆相交，有两个公共点；(2) 直线与圆相切，只有一个公共点；(3) 直线与圆相离，无公共点2. 直线与圆的位置关系的判断方法直线l：axbyc0(a，b不全为0)与圆(xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系的判断方法：(1)几何方法：圆心(a，b)到直线axbyc0的距离为d，dr直线与圆相离(2) 代数方法：由axbyc0，(xa)2(yb)2r2，消元，得到的一元二次方程的判别式为，则0直线与圆相交；0直线与圆相切；0)与(xa2)2(yb2)2r(r20)的圆心距为d，则dr1r2两圆外离；dr1r2两圆外切；|r1r2|dr1r2两圆相交；d|r1r2|(r1r2) 两圆内切；0d|r1r2|(r1r2) 两圆内含(d0时为同心圆).题型1直线与圆的位置关系例1已知圆c：(x1)2(y2)225，直线l：(2m1)x(m1)y7m40(mr)(1) 求证：不论m取什么实数，直线l与圆c恒交于两点；(2) 求直线被圆c截得的弦长最小时直线l的方程(1) 证明：直线l的方程整理得(xy4)m(2xy7)0， mr， 也就是直线l恒过定点a(3，1)由于|ac|5(半径)， 点a(3，1)在圆c内，故直线l与圆c恒交于两点(2) 解：弦长最小时，直线lac，而kac，故此时直线l的方程为2xy50.已知圆x2y26mx2(m1)y10m22m240(mr)(1) 求证：不论m取什么值，圆心在同一直线l上；(2) 与l平行的直线中，哪些与圆相交，相切，相离(1) 证明：配方得(x3m)2y(m1)225.设圆心为(x，y)，则消去m，得x3y30.故不论m取什么值，圆心在同一直线l：x3y30上(2) 解：设与l平行的直线为n：x3yb0，则圆心到直线l的距离d，由于圆的半径r5， 当dr，即53br，即b53时，直线与圆相离题型2直线与圆相交的弦的问题例2已知圆c：x2(y3)24，一动直线l过a(1，0)与圆c相交于p、q两点，m是pq中点，l与直线m：x3y60相交于n.(1) 求证：当l与m垂直时，l必过圆心c；(2) 当pq2时，求直线l的方程；(3) 探索是否与直线l的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由(1) 证明： l与m垂直，且km， kl3.又kac3，所以当l与m垂直时，l的方程为y3(x1)，l必过圆心c.(2) 解：当直线l与x轴垂直时， 易知x1符合题意当直线l与x轴不垂直时， 设直线l的方程为yk(x1)，即kxyk0.因为pq2 ，所以cm1，则由cm1，得k， 直线l：4x3y40. 从而所求的直线l的方程为x1或4x3y40.(3) 解： cmmn， () .当l与x轴垂直时，易得n，则.又(1，3)， 5；当l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，则由得n，则. 5.综上，与直线l的斜率无关，且5.另解：连结ca并延长交m于点b，连结cm，cn，由题意知acm，又cml， 四点m、c、n、b都在以cn为直径的圆上，由相交弦定理，得|am|an|ac|ab|5. 已知圆c：(x3)2(y4)24，直线l1过定点a(1，0)(1) 若l1与圆相切，求l1的方程；(2) 若l1与圆相交于p、q两点，线段pq的中点为m，又l1与l2：x2y20的交点为n，判断aman是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由解：(1) 若直线l1的斜率不存在，即直线是x1，符合题意若直线l1斜率存在，设直线l1为yk(x1)，即kxyk0.由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2，即2，解得k.所求直线方程是x1或3x4y30.(2) (解法1)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kxyk0.由得n.又直线cm与l1垂直，由得m. aman 6为定值故aman是定值，且为6.(解法2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kxyk0.由得n.再由得(1k2)x2(2k28k6)xk28k210.x1x2，得m.以下同解法1.(解法3)用几何法连结ca并延长交l2于点b，kac2，kl2，cbl2.如图所示，amcabn，则，可得amanacab26，是定值题型3圆的切线问题例3求半径为4，与圆x2y24x2y40相切，且和直线y0相切的圆的方程解：由题意，设所求圆的方程为圆c：(xa)2(yb)2r2.圆c与直线y0相切，且半径为4，则圆心c的坐标为c1(a，4)或c2(a，4)又已知圆x2y24x2y40的圆心a的坐标为(2，1)，半径为3.若两圆相切，则|ca|437或|ca|431. 当c1(a，4)时，有(a2)2(41)272或(a2)2(41)212(无解)，故可得a22. 所求圆方程为(x22)2(y4)242或(x22)2(y4)242. 当c2(a，4)时，(a2)2(41)272或(a2)2(41)212(无解)，故a22. 所求圆的方程为(x22)2(y4)242或(x22)2(y4)242.自点a(3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆c：x2y24x4y70相切求：(1) 光线l和反射光线所在的直线方程；(2) 光线自a到切点所经过的路程解：根据对称关系，首先求出点a的对称点a的坐标为，其次设过a的圆c的切线方程为yk3.根据dr，即求出圆c的切线的斜率为k或k，进一步求出反射光线所在的直线的方程为4x3y30或3x4y30.最后根据入射光与反射光关于x轴对称，求出入射光所在直线方程为4x3y30或3x4y30.光路的距离为，可由勾股定理求得7.【示例】(本题模拟高考评分标准，满分14分)直线l过点(4，0)且与圆(x1)2(y2)225交于a，b两点，如果ab8，求直线l的方程学生错解：解：设直线l的方程为yk(x4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(1，2)到直线yk(x4)的距离为3，即3，解得k，此时直线方程为5x12y200.审题引导： (1) 如何设过定点的直线的方程？(2) 圆中弦长的问题，通常作怎样的辅助线构造直角三角形来解决？规范解答： 解：过点(4，0)的直线若垂直于x轴，经验证符合条件，即方程为x40满足题意；(4分)若存在斜率，设其直线方程为yk(x4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(1，2)到直线yk(x4)的距离为3，即3，解得k，(10分)此时直线方程为5x12y200，(12分)综上直线方程为5x12y200或x40.(14分)错因分析： 1. 解答本题易误认为斜率k一定存在从而漏解.2. 对于过定点的动直线设方程时，可结合题意或作出符合题意的图形分析斜率k是否存在，以避免漏解1. 在平面直角坐标系xoy中，圆c的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆c有公共点，则k的最大值是_答案：解析： 圆c的方程可化为(x4)2y21， 圆c的圆心为(4，0)，半径为1.由题意知，直线ykx2上至少存在一点a(x0，kx02)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆c有公共点， 存在x0r，使得ac11成立，即acmin2. acmin即为点c到直线ykx2的距离， 2，解得0k. k的最大值是.2. 已知直线l过点(2，0)，当直线l与圆x2y22x有两个交点时，其斜率k的取值范围是_答案：解析：易知圆心坐标是(1，0)，圆的半径是1，直线l的方程是yk(x2)，即kxy2k0，根据点到直线的距离公式得1，即k2，解得k.3. 直线ykx3与圆(x2)2(y3)24相交于m，n两点，若mn2，则k的取值范围是_答案：解析：设圆心c(2，3)到直线ykx3的距离为d，若mn2，则d2r2431，即1，解得k.4. 若圆o：x2y25与圆o1：(xm)2y220(mr)相交于a，b两点，且两圆在点a处的切线互相垂直，则线段ab的长是_答案：4解析：依题意得oo15，且oo1a是直角三角形，soo1aoo1oaao1，因此ab4.5. 如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆c的中心在坐标原点o，右焦点为f.若c的右准线l的方程为x4，离心率e.(1) 求椭圆c的标准方程；(2) 设点p为准线l上一动点，且在x轴上方圆m经过o、f、p三点，求当圆心m到x轴的距离最小时圆m的方程解：(1) 由题意，设椭圆c的标准方程为1(ab0)，则解得a2，c2.从而b2a2c24.所以所求椭圆c的标准方程为1.(2) (解法1)由(1)知f(2，0)由题意可设p(4，t)，t0.线段of的垂直平分线方程为x1.因为线段fp的中点为，斜率为，所以fp的垂直平分线方程为y(x3)，即yx.联立，解得即圆心m.因为t0，所以22，当且仅当，即t2时，圆心m到x轴的距离最小，此时圆心为m(1，2)，半径为om3.故所求圆m的方程为(x1)2(y2)29.(解法2)由(1)知f(2，0)由题意可设p(4，t)，t0.因为圆m过原点o，故可设圆m的方程为x2y2dxey0.将点f、p的坐标代入得解得所以圆心m的坐标为，即(1，)因为t0，所以22，当且仅当，即t2时，圆心m到x轴的距离最小，此时e4.故所求圆m的方程为x2y22x4y0.6. 如图，在平面直角坐标系xoy中，已知曲线c由圆弧c1和圆弧c2相接而成，两相接点m、n均在直线x5上圆弧c1的圆心是坐标原点o，半径为r113；圆弧c2过点a(29，0)(1) 求圆弧c2所在圆的方程；(2) 曲线c上是否存在点p，满足papo？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；(3) 已知直线l：xmy140与曲线c交于e、f两点，当ef33时，求坐标原点o到直线l的距离解：(1) 由题意得，圆弧c1所在圆的方程为x2y2169.令x5，解得m(5，12)，n(5，12)，又c2过点a(29，0)，设圆弧c2所在圆方程为x2y2dxeyf0，则解得所以圆弧c2所在圆的方程为x2y228x290.(2) 假设存在这样的点p(x，y)，则由papo，得(x29)2y230(x2y2)，即x2y22x290.由解得x70(舍去)；由解得x0(舍去)所以这样的点p不存在(3) 因为圆弧c1、c2所在圆的半径分别为r113，r215，因为ef2r1，ef2r2，所以e、f两点分别在两个圆弧上设点o到直线l的距离为d，因为直线l恒过圆弧c2所在圆的圆心(14，0)，所以ef15，即18，解得d2，所以点o到直线l的距离为.1. 已知圆o的半径为1，pa、pb为该圆的两条切线，a、b为两切点，那么的最小值为_答案：32解析：设apb2，|x，则|cos2|2cos2(|21)(12sin2)(x21)x22132，当且仅当x2，即x时取等号2. 若直线yxb与曲线y3有公共点，则b的取值范围是_答案：12，3解析：y3变形为(x2)2(y3)24(0x4，1y3)，表示以(2，3)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示若直线yxb与曲线y3有公共点，只需直线yxb在图中两直线之间(包括图中两条直线)，yxb与下半圆相切时，圆心到直线yxb的距离为2，即2，解得b12或b12(舍去)，b的取值范围为12b3.3. 已知圆c过点p(1，1)，且与圆m：(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线xy20对称(1) 求圆c的方程；(2) 过点p作两条相异直线分别与圆c相交于a、b，且直线pa和直线pb的倾斜角互补，o为坐标原点，试判断直线op和ab是否平行？请说明理由解：(1) 设圆心c(a，b)，则解得则圆c的方程为x2y2r2，将点p的坐标代入得r22，故圆c的方程为x2y22.(2) 由题意知，直线pa和直线pb的斜率存在，且互为相反数，故可设pa：y1k(x1)，pb：y1k(x1)，由得(1k2)x22k(1k)x(1k)220.因为点p的横坐标x1一定是该方程的解，故可得xa.同理可得xb，所以kab1kop，所以，直线ab和op一定平行4. 已知以点c(tr，t0)为圆心的圆与x轴交于点o、a，与y轴交于点o、b，其中o为原点(1) 求证：aob的面积为定值；(2) 设直线2xy40与圆c交于点m、n