《垂径定理》教案

垂径定理教案教学目标知识目标：1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；2.掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；3.掌握辅助线的作法过圆心作一条与弦垂直的线段.能力目标：1.通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；2.向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法.情感目标：1.结合课本教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.教学重点与难点1.重点：垂径定理及其逆定理2.难点：运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明教法与学法指导指导探索法在老师的启发引导下,学生经过观察、操作、猜测、推理论证、发现、归纳等方法探究出新知.通过对圆的图形的认识，使学生认识新的几何图形的对称美，体会所体现出的完美性，培养学生美的感受，激发学习兴趣教学准备多媒体课件教学过程一、创设情境，引入新课师：前面我们已学过了圆中的关于圆心角、弧、弦的定理，哪位同学能叙述一下.生：1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.练一练：如图，完成下列各题：（1） = AOB=，AB=.（2） AB=AB AOB=，=.（3） AOB= AB=_，=.二、师生合作，探究新知师：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？生：如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴师：我们是用什么方法研究了轴对称图形？生：折叠师：今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性(说明：由学生熟悉的知识，以问题形式引出课题，回顾旧知的同时明确新知，激发学生的学习热情，引导学生充分体会新旧知识间的联系.)下面我们一起来做一做：按下面的步骤做一做：1在一张纸上任意画一个O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合2得到一条折痕CD3在O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足4将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如上图师：老师和大家一起动手(教师叙述步骤，师生共同操作)师：通过第一步，我们可以得到什么？学生齐声：可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴师：很好在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？生：我发现了，AM=BM，师：为什么呢？生：因为折痕AM与BM互相重合，A点与B点重合师：还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？师生共析：如下图示，连接OA、OB得到等腰OAB，即OA=OB因CDAB，故OAM与OBM都是Rt，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM=BM又O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合， 与 重合，与 重合因此AM=BM，=，=师：在上述操作过程中，你会得出什么结论？生：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧师：同学们总结得很好这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质垂径定理在这里注意；条件中的“弦”可以是直径结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦下面，我们一起看一下定理的证明：(教师边板书，边叙述)如上图，连结OA、OB，则OA=OB在RtOAM和RtOBM中，OA=OB，OM=OM，RtOAMRtOBM，AM=BM点A和点B关于CD对称O关于直径CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合， 与重合，与重合=，=师：为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足（1）过圆心；（2）垂直于弦，那么可推出：平分弦，平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧即垂径定理的条件有两项，结论有三项用符号语言可表述为：在O中，下面，我们通过求解例1，来熟悉垂径定理：例1：如下图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的圆心)，其中CD=600m，E为上一点，且OECD，垂足为F，EF=90 m，求这段弯路的半径师生共析：要求弯路的半径，连结OC，只要求出OC的长便可以了因为已知OECD，所以CF=CD=300cm，OF=OE-EF，此时就得到了一个RtCFO，哪位同学能口述一下如何求解？生:连结OC，设弯路的半径为R m，则OF=(R-90)m，OECD，CF=CD=600=300(m)据勾股定理，得OC2=CF2+OF2，即R2=3002+(R-90)2解这个方程，得R=545这段弯路的半径为545m师：在上述解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法解决几何问题，这种思想应在今后的解题过程中注意运用下面我们来想一想如下图示，AB是O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M师:上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？生:它是轴对称图形，其对称轴是直径CD所在的直线师:很好你是用什么方法验证上述结论的？大家互相交流讨论一下，你还有什么发现？生:通过折叠的方法，与刚才垂径定理的探索方法类似，在一张纸上画一个O，作一条不是直径的弦AB，将圆对折，使点A与点B重合，便得到一条折痕CD与弦AB交于点MCD就是O的对称轴，A点、B点关于直径CD对称由轴对称可知，ABCD，=，=师：大家想想还有别的方法吗？互相讨论一下生：如上图连接OA、OB便可得到一个等腰OAB，即OA=OB，又AM=MB，即M点为等腰OAB底边上的中线由等腰三角形三线合一的性质可知CDAB，又CD是O的对称轴，当圆沿CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合师:在上述的探讨中，你会得出什么结论？生：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧师：为什么上述条件要强调“弦不是直径”？来源:Zxxk.Com生：因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的师：我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理师：同学们，你能写出它的证明过程吗？生：如上图，连结OA、OB，则OA=OB在等腰OAB中，AM=MB，CDAB(等腰三角形的三线合一)O关于直径CD对称当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合=，=(通过这一过程培养学生思维的灵活，从而达到巩固双基，举一反三的目的)三、随堂练习，巩固提高1. 随堂练习：P76 练习第1题（略）2如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？答：相等理由：如下图示，过圆心O作垂直于弦的直径EF，由垂径定理设=，=，用等量减等量差相等，得-=-，即=，故结论成立符合条件的图形有三种情况：（1）圆心在平行弦外，（2）在其中一条线弦上，（3）在平行弦内，但理由相同（通过这一训练，让学生多层次，多角度认识问题，多种策略考虑问题，发展其创新意识和实践）四、课堂小结，反思提高1本节课我们探索了圆的对称性2利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.3垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题（组织学生小结，并作适当的补充，从知识、方法和情感三方面归纳小结，进行反思.有困惑的学生，课后和老师交流）.五、达标检测，反馈矫正银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备内径多大的管道？过程:让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理基本结构图，进而发展学生的思维结果:如下图示，连结OA，过O作OEAB，垂足为E，交圆于F，则AE=AB=30cm令O的半径为R，则OA=R，OE=OF-EF=R-10在RtAEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+(R-10)2解得R=50cm修理人员应准备内径为100cm的管道(