高中数学第三章不等式3_2均值不等式二课件新人教b版必修5

第三章 不等式 学习目标 1 熟练掌握均值不等式及变形的应用 2 会用均值不等式解决简单的最大 小 值问题 3 能够运用均值不等式解决生活中的应用问题 3 2均值不等式 二 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 1 已知x y都是正数 若x y s 和为定值 那么xy有最大值还是最小值 如何求 2 已知x y都是正数 若xy p 积为定值 那么x y有最大值还是最小值 如何求 答x y有最小值 由均值不等式 得x y 2 2 当x y时 x y取得最小值2 预习导引 1 用均值不等式求最值的结论 1 设x y为正实数 若x y s 和s为定值 则当时 积xy有最值 且这个值为 2 设x y为正实数 若xy p 积p为定值 则当时 和x y有最值 且这个值为2 小 x y 大 x y 2 均值不等式求最值的条件 1 x y必须是 2 求积xy的最大值时 应看和x y是否为 求和x y的最小值时 应看积xy是否为 3 等号成立的条件是否满足 定值 正数 定值 要点一均值不等式与最值例1 1 若x 0 求函数y x 的最小值 并求此时x的值 2 设0 x 求函数y 4x 3 2x 的最大值 3 已知x 2 求x 的最小值 故当x 4 y 12时 x y min 16 4 已知x 0 y 0 且 1 求x y的最小值 可知x 1 y 9 x y x 1 y 9 10 2 10 16 当且仅当x 1 y 9 3 即x 4 y 12时上式取等号 故当x 4 y 12时 x y min 16 规律方法在利用均值不等式求最值时要注意三点 一是各项为正 二是寻求定值 求和式最小值时应使积为定值 求积式最大值时应使和为定值 恰当变形 合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧 三是考虑等号成立的条件 跟踪演练1 1 已知x 0 求f x 3x的最小值 f x 的最小值为12 2 已知x 3 求f x x的最大值 解 x 3 x 3 0 1 3 设x 0 y 0 且2x 8y xy 求x y的最小值 解方法一由2x 8y xy 0 得y x 8 2x x y的最小值是18 要点二均值不等式在实际问题中的应用例2某单位用2160万元购得一块空地 计划在该空地上建造一栋至少10层 每层2000平方米的楼房 经测算 如果将楼房建为x x 10 层 则每平方米的平均建筑费用为560 48x 单位 元 1 写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式 2 该楼房应建造多少层时 可使楼房每平方米的平均综合费用最少 最少值是多少 注 平均综合费用 平均建筑费用 平均购地费用 平均购地费用 规律方法利用均值不等式解决实际问题时 一般是先建立关于目标量的函数关系 再利用均值不等式求解目标函数的最大 小 值及取最大 小 值的条件 此时 平均综合费用的最小值为560 1440 2000 元 所以当该楼房建造15层时 可使楼房每平方米的平均综合费用最少 最少值为2000元 跟踪演练2某食品厂定期购买面粉 已知该厂每天需用面粉6吨 每吨面粉的价格1800元 面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元 购买面粉每次需支付运费900元 求该厂多少天购买一次面粉 才能使平均每天的支付的总费用最少 解设该厂每隔x天购买一次面粉 其购买量为6x吨 由题意可知 面粉的保管等其他费用为3 6x 6 x 1 6 x 2 6 1 9x x 1 该厂每10天购买一次面粉 才能使平均每天所支付的总费用最少 例3某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额 拟在2016年巴西里约热内卢奥运会期间进行一系列促销活动 经过市场调查和测算 化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3 x与t 1成反比例 如果不搞促销活动 化妆品的年销量只能是1万件 已知2016年生产化妆品的设备折旧 维修等固定费用为3万元 每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用 若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150 与平均每件促销费的一半之和 则当年生产的化妆品正好能销完 1 将2016年的利润y 万元 表示为促销费t 万元 的函数 当年生产x万件时 年生产成本 年生产费用 固定费用 年生产成本为32x 3 32 3 3 当销售x 万件 时 年销售收入为150 32 3 3 t 由题意 生产x万件化妆品正好销完 由年利润 年销售收入 年生产成本 促销费 得年利润y t 0 2 该企业2016年的促销费投入多少万元时 企业的年利润最大 注 利润 销售收入 生产成本 促销费 生产成本 固定费用 生产费用 当促销费投入7万元时 企业的年利润最大 规律方法应用题 先弄清题意 审题 建立数学模型 列式 再用所掌握的数学知识解决问题 求解 最后要回应题意下结论 作答 跟踪演练3一批货物随17列货车从A市以v千米 时匀速直达B市 已知两地铁路线长400千米 为了安全 两列货车的间距不得小于 2千米 那么这批货物全部运到B市 最快需要 小时 解析设这批货物从A市全部运到B市的时间为t 即v 100千米 时等号成立 此时t 8小时 8 1 设a b是实数 且a b 3 则2a 2b的最小值是 A 6B 4C 2D 8 B 1 2 3 4 2 3 4 1 D A 最大值B 最小值C 最大值1D 最小值1 即x 3时等号成立 C 3 将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2 形状为直角三角形的框架 在下列四种长度的铁丝中 选用最合理 够用且浪费最少 的是 A 6 5mB 6 8mC 7mD 7 2m解析设两直角边分别为a b 直角三角形的框架的周长为l 则ab 2 ab 4 l a b 6 828 m 因为要求够用且浪费最少 故选C 1 2 3 4 1 2 3 4 4 已知x 0 y 0 x 2y 2xy 8 则x 2y的最小值是 解析由x 2y 2xy 8 得x 2y 2 8 即 x 2y 2 4 x 2y 32 0 解得x 2y 4 4 课堂小结1 用均值不等式求最值 1 利用均值不等式求最值要把握下列三个条件 一正 各项为正数 二定 和 或 积 为定值 三相等 等号一定能取到 这三个条件缺一不可 2 利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件 解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的 拆项 添项 配凑 变形 等方法创建应用均值