高中数学 第二单元 平面向量 2_3_2 向量数量积的运算律课件 新人教b版必修4

2 3 2向量数量积的运算律 第二章 2 3平面向量的数量积 学习目标1 掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式 2 会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一平面向量数量积的运算律 类比实数的运算律 判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确 正确 错误 正确 错误 知识点二平面向量数量积的运算性质 类比多项式乘法的乘法公式 写出下表中的平面向量数量积的运算性质 a b 2 a2 2a b b2 a b 2 a2 2a b b2 a b a b a2 b2 a b c 2 a2 b2 c2 2a b 2b c 2c a 梳理 与多次式乘法公式类似 平面向量数量积也有相似公式 应用公式时不要漏写数量积中的点乘符号 题型探究 类型一向量数量积的运算性质 例1给出下列结论 若a 0 a b 0 则b 0 若a b b c 则a c a b c a b c a b a c c a b 0 其中正确结论的序号是 解析因为当两个非零向量a b垂直时 a b 0 故 不正确 当a 0 b c时 a b b c 0 但不能得出a c 故 不正确 向量 a b c与c共线 a b c 与a共线 故 不正确 a b a c c a b a b a c a c a b 0 故 正确 答案 解析 反思与感悟 向量的数量积a b与实数a b的乘积a b有联系 同时有许多不同之处 例如 由a b 0并不能得出a 0或b 0 特别是向量的数量积不满足结合律 答案 解析 跟踪训练1设a b c是任意的非零向量 且互不平行 给出以下说法 a b c c a b 0 b c a c a b不与c垂直 3a 2b 3a 2b 9 a 2 4 b 2 其中正确的是 填序号 解析 a b c表示与向量c共线的向量 c a b表示与向量b共线的向量 而b c不共线 所以 错误 由 b c a c a b c 0知 b c a c a b与c垂直 故 错误 向量的乘法运算符合多项式乘法法则 所以 正确 命题角度1已知向量垂直求参数值例2已知两个单位向量a b的夹角为60 c ta 1 t b 且b c 则t 类型二平面向量数量积有关的参数问题 2 答案 解析 解析由题意 将b c b ta 1 t b 整理 所以t 2 反思与感悟 由两向量垂直求参数一般是利用性质 a b a b 0 解析因为a k 3 b 1 4 所以2a 3b 2 k 3 3 1 4 2k 3 6 因为 2a 3b c 所以 2a 3b c 2k 3 6 2 1 2 2k 3 6 0 解得k 3 故选C 跟踪训练2已知向量a k 3 b 1 4 c 2 1 且 2a 3b c 则实数k等于 答案 解析 2k 0 k 0 但当k 1时 e1 ke2 ke1 e2 它们的夹角为0 不符合题意 舍去 综上 k的取值范围为k 0且k 1 解析 e1 ke2与ke1 e2的夹角为锐角 e1 ke2 ke1 e2 命题角度2由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围例3已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量 若向量e1 ke2与ke1 e2的夹角为锐角 则k的取值范围为 答案 解析 0 1 1 反思与感悟 跟踪训练3设两个向量e1 e2满足 e1 2 e2 1 e1 e2的夹角为60 若向量2te1 7e2与e1 te2的夹角为钝角 求实数t的取值范围 解答 2te1 7e2 e1 te2 0 解设向量2te1 7e2与e1 te2的夹角为 当 时 也有 2te1 7e2 e1 te2 0 但此时夹角不是钝角 设2te1 7e2 e1 te2 0 当堂训练 1 下面给出的关系式中正确的个数是 0 a 0 a b b a a2 a 2 a b a b a b 2 a2 b2 A 1B 2C 3D 4解析 正确 错误 错误 a b 2 a b cos 2 a2 b2cos2 故选C 答案 2 3 4 5 1 解析 答案 2 3 4 5 1 解析 2 已知 a 1 b 且 a b 与a垂直 则a与b的夹角是A 60 B 30 C 135 D 45 解析 a b a a2 a b 0 a b a2 1 a b 135 2 3 4 5 1 答案 解析 3 已知平面向量a b满足 a 3 b 2 a与b的夹角为60 若 a mb a 则实数m的值为A 1B 0C 2D 3 解析由题意得 a mb a 0 a2 ma b 故选D 2 3 4 5 1 解析 a b c 0 a b c 2 0 即 a 2 b 2 c 2 2 a b b c c a 0 3 2 a b b c c a 0 答案 解析 5 已知 a 2 b 1 2a 3b 2a b 9 1 求a与b之间的夹角 解答 2 3 4 5 1 解 2a 3b 2a b 4a2 4a b 3b2 9 即16 4a b 3 9 解答 2 3 4 5 1 2 求向量a在a b上的正射影的数量 设a与a b的夹角为 则向量a在a b上的正射影的数量为 规律与方法 1 数量积对结合律不一定成立 因为 a b c a b cos a b c是一个与c共线的向量 而 a c b a c cos a c b是一个与b共线的向量 若b与c不共线 则两者不相