高中数学 第二章 数列 2_5 等比数列的前n项和（二）课件 新人教a版必修5

第二章数列 2 5等比数列的前n项和 二 1 熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题 2 应用方程的思想解决与等比数列前n项和有关的问题 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 知识梳理自主学习 知识点一等比数列前n项和的变式 答案 na1 答案 Aqn A 思考在数列 an 中 an 1 can c为非零常数 且前n项和Sn 3n 1 k 则实数k等于 答案 答案 等比 q 思考在等比数列 an 中 若a1 a2 20 a3 a4 40 则S6等于 A 140B 120C 210D 520 返回 解析答案 解析S2 20 S4 S2 40 S6 S4 80 S6 S4 80 S2 40 80 140 A 题型探究重点突破 题型一等比数列前n项和的性质例1 1 等比数列 an 中 S2 7 S6 91 则S4 解析答案 解析 数列 an 是等比数列 S2 S4 S2 S6 S4也是等比数列 即7 S4 7 91 S4也是等比数列 S4 7 2 7 91 S4 解得S4 28或S4 21 又 S4 a1 a2 a3 a4 a1 a2 a1q2 a2q2 a1 a2 1 q2 S2 1 q2 0 S4 28 28 2 等比数列 an 共有2n项 其和为 240 且 a1 a3 a2n 1 a2 a4 a2n 80 则公比q 解析答案 反思与感悟 2 解决有关等比数列前n项和的问题时 若能恰当地使用等比数列前n项和的相关性质 常常可以避繁就简 不仅可以减少解题步骤 而且可以使运算简便 同时还可以避免对公比q的讨论 解题中把握好等比数列前n项和性质的使用条件 并结合题设条件寻找使用性质的切入点 方可使 英雄 有用武之地 反思与感悟 解析答案 即1 q3 3 所以q3 2 2 一个项数为偶数的等比数列 各项之和为偶数项之和的4倍 前3项之积为64 求通项公式 解析答案 解设数列 an 的首项为a1 公比为q 全部奇数项 偶数项之和分别记为S奇 S偶 由题意知S奇 S偶 4S偶 即S奇 3S偶 题型二等比数列前n项和的实际应用例2小华准备购买一台售价为5000元的电脑 采用分期付款方式 并在一年内将款全部付清 商场提出的付款方式为 购买2个月后第1次付款 再过2个月后第2次付款 购买12个月后第6次付款 每次付款金额相同 约定月利率为0 8 每月利息按复利计算 求小华每期付款金额是多少 解析答案 反思与感悟 解方法一设小华每期付款x元 第k个月末付款后的欠款本利为Ak元 则 A2 5000 1 0 008 2 x 5000 1 0082 x A4 A2 1 0 008 2 x 5000 1 0084 1 0082x x A12 5000 1 00812 1 00810 1 0088 1 0082 1 x 0 解析答案 反思与感悟 故小华每期付款金额约为880 8元 方法二设小华每期付款x元 到第k个月时已付款及利息为Ak元 则 A2 x A4 A2 1 0 008 2 x x 1 1 0082 A6 A4 1 0 008 2 x x 1 1 0082 1 0084 A12 x 1 1 0082 1 0084 1 0086 1 0088 1 00810 年底付清欠款 A12 5000 1 00812 即5000 1 00812 x 1 1 0082 1 0084 1 00810 故小华每期付款金额约为880 8元 反思与感悟 分期付款问题是典型的求等比数列前n项和的应用题 此类题目的特点是 每期付款数相同 且每期间距相同 解决这类问题有两种处理方法 如本题中方法一是按欠款数计算 由最后欠款为0列出方程求解 而方法二是按付款数计算 由最后付清全部欠款列方程求解 反思与感悟 解析答案 返回 解析答案 题型三新情境问题例3定义 若数列 An 满足An 1 An 则称数列 An 为 平方数列 已知数列 an 中 a1 2 点 an an 1 在函数f x 2x2 2x的图象上 其中n为正整数 1 证明 数列 2an 1 是 平方数列 且数列 lg 2an 1 为等比数列 解析答案 2 数列 2an 1 是 平方数列 lg 2an 1 1 lg 2an 1 2 2lg 2an 1 且lg 2a1 1 lg5 0 lg 2an 1 是首项为lg5 公比为2的等比数列 2 设 1 中 平方数列 的前n项之积为Tn 则Tn 2a1 1 2a2 1 2an 1 求数列 an 的通项及Tn关于n的表达式 解析答案 解 lg 2a1 1 lg5 lg 2an 1 2n 1lg5 lgTn lg 2a1 1 lg 2a2 1 lg 2an 1 2n 1 lg5 Tn 1 3 对于 2 中的Tn 记bn logTn 求数列 bn 的前n项和Sn 并求使Sn 4024的n的最小值 解析答案 2an 1 反思与感悟 解析答案 2an 1 n的最小值为2013 反思与感悟 数列创新题的特点及解题关键特点 叙述复杂 关系条件较多 难度较大 解题关键 读清条件要求 理清关系 逐个分析 反思与感悟 跟踪训练3记U 1 2 100 对数列 an n N 和U的子集T 若T 定义ST 0 若T t1 t2 tk 定义ST at1 at2 atk 例如 T 1 3 66 时 ST a1 a3 a66 现设 an n N 是公比为3的等比数列 且当T 2 4 时 ST 30 1 求数列 an 的通项公式 解析答案 2 对任意正整数k 1 k 100 若T 1 2 k 求证 ST ak 1 解析答案 3 设C U D U SC SD 求证 SC SC D 2SD 证明设A C C D B D C D 则A B SC SA SC D SD SB SC D SC SC D 2SD SA 2SB SC SC D 2SD等价于SA 2SB 由条件SC SD可得SA SB 若B 则SB 0 所以SA 2SB成立 解析答案 若B 由SA SB可知A 设A中的最大元素为I B中的最大元素为m 若m I 1 则由 2 得SA SI 1 am SB 矛盾 又 A B I m I m 1 SB a1 a2 am 1 3 32 3m 1 即SA 2SB成立 综上所述 SA 2SB 故SC SC D 2SD成立 返回 当堂检测 1 2 3 4 1 等比数列 an 中 a1a2a3 1 a4 4 则a2 a4 a6 a2n等于 解析答案 1 2 3 4 a2 1 又 a4 4 数列a2 a4 a6 a2n是首项为1 公比为4的等比数列 答案B 2 某住宅小区计划植树不少于100棵 若第一天植2棵 以后每天植树的棵数是前一天的2倍 则需要的最少天数n n N 等于 A 3B 4C 5D 6 解析设每天植树棵数为 an 则 an 是等比数列 an 2n n N n为天数 由题意得2 22 23 2n 100 2n 1 50 2n 51 n 6 需要的最少天数n 6 1 2 3 4 D 解析答案 1 2 3 4 3 等比数列 an 的前m项和为4 前2m项和为12 则它的前3m项和是 A 28B 48C 36D 52 A 解析易知Sm 4 S2m Sm 8 S3m S2m 16 S3m 12 16 28 解析答案 1 2 3 4 解析答案 4 已知数列 an 是等比数列 Sn是其前n项的和 a1 a7 a4成等差数列 求证 2S3 S6 S12 S6成等比数列 证明设等比数列 an 的公比为q 由题意得2a7 a1 a4 即2a1 q6 a1 a1 q3 2q6 q3 1 0 令q3 t 则2t2 t 1 0 当q3 1时 2S3 6a1 S6 6a1 S12 S6 6a1 解析答案 1 2 3 4 2S3 S6 S12 S6成等比数列 解析答案 1 2 3 4 2S3 S6 S12 S6成等比数列