【步步高】高三数学大一轮复习 9.2两条直线的位置关系教案 理 新人教A版 .DOC

9.2两条直线的位置关系2014高考会这样考1.考查两条直线的平行、垂直关系；2.考查两点间的距离公式及点到直线的距离公式的应用复习备考要这样做1.对于两条直线的位置关系问题，求解时要注意斜率不存在的情况，注意平行、垂直时直线方程系数的关系；2.熟记距离公式，如两点之间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离1 两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1l2k1k2.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2平行(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1l2k1k21，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直2 两直线相交交点：直线l1：a1xb1yc10和l2：a2xb2yc20的公共点的坐标与方程组的解一一对应相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解3 三种距离公式(1)点a(x1，y1)、b(x2，y2)间的距离：|ab| .(2)点p(x0，y0)到直线l：axbyc0的距离：d .(3)两平行直线l1：axbyc10与l2：axbyc20 (c1c2)间的距离为d.难点正本疑点清源1 两条直线平行、垂直的充要条件是有大前提的，就是两条直线都有斜率当直线无斜率时，要单独考虑2 与直线axbyc0(a2b20)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为axbym0；垂直的直线方程设为bxayn0.1 直线ax3yc0与直线2x3y40的交点在y轴上，则c的值为_答案4解析因为两直线的交点在y轴上，所以点在第一条直线上，所以c4.2 若直线x2y50与直线2xmy60互相垂直，则实数m_.答案1解析直线x2y50与直线2xmy60互相垂直，1，m1.3 已知直线l1与l2：xy10平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为_答案xy10或xy30解析设l1的方程为xyc0，则.|c1|2，即c1或c3.4 过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是 ()ax2y10 bx2y10c2xy20 dx2y10答案a解析所求直线与直线x2y20平行，所求直线的斜率为k，排除c、d.又直线过点(1,0)，排除b，故选a.5 若经过点(3，a)、(2,0)的直线与经过点(3，4)且斜率为的直线垂直，则a的值为()a. b. c10 d10答案d解析2，a10.题型一两条直线的平行与垂直例1已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)l1l2时，求a的值思维启迪：运用两条直线平行或垂直的条件求解，要注意斜率为0或斜率不存在的情形解(1)方法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；当a1且a0时，两直线可化为l1：yx3，l2：yx(a1)，l1l2解得a1，综上可知，a1时，l1l2，否则l1与l2不平行方法二由a1b2a2b10，得a(a1)120，由a1c2a2c10，得a(a21)160，l1l2a1，故当a1时，l1l2，否则l1与l2不平行(2)方法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1与l2不垂直，故a1不成立；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不垂直于l2；当a1且a0时，l1：yx3，l2：yx(a1)，由1a.方法二由a1a2b1b20得a2(a1)0a.探究提高(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论 已知两直线l1：mx8yn0和l2：2xmy10.试确定m、n的值，使：(1)l1与l2相交于点p(m，1)；(2)l1l2；(3)l1l2，且l1在y轴上的截距为1.解(1)由题意得，解得m1，n7.(2)当m0时，显然l1不平行于l2；当m0时，由，得或即m4，n2时或m4，n2时，l1l2.(3)当且仅当m28m0，即m0时，l1l2.又1，n8.即m0，n8时，l1l2，且l1在y轴上的截距为1.题型二两条直线的交点问题例2求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程思维启迪：可先求出l1与l2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解解方法一先解方程组，得l1、l2的交点坐标为(1,2)，再由l3的斜率求出l的斜率为，于是由直线的点斜式方程求出l：y2(x1)，即5x3y10.方法二由于ll3，故l是直线系5x3yc0中的一条，而l过l1、l2的交点(1,2)，故5(1)32c0，由此求出c1，故l的方程为5x3y10.方法三由于l过l1、l2的交点，故l是直线系3x2y1(5x2y1)0中的一条，将其整理，得(35)x(22)y(1)0.其斜率，解得，代入直线系方程即得l的方程为5x3y10.探究提高运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线axbyc0平行的直线系方程是axbym0 (mr且mc)；(2)与直线axbyc0垂直的直线系方程是bxaym0 (mr)；(3)过直线l1：a1xb1yc10与l2：a2xb2yc20的交点的直线系方程为a1xb1yc1(a2xb2yc2)0 (r)，但不包括l2. 如图，设一直线过点(1,1)，它被两平行直线l1：x2y10，l2：x2y30所截的线段的中点在直线l3：xy10上，求其方程解与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x2y20.设所求直线方程为(x2y2)(xy1)0，即(1)x(2)y20.又直线过a(1,1)，(1)(1)(2)120.解得.所求直线方程为2x7y50.题型三距离公式的应用例3已知三条直线：l1：2xya0 (a0)；l2：4x2y10；l3：xy10.且l1与l2的距离是.(1)求a的值；(2)能否找到一点p，使p同时满足下列三个条件：点p在第一象限；点p到l1的距离是点p到l2的距离的；点p到l1的距离与点p到l3的距离之比是.若能，求点p的坐标；若不能，说明理由思维启迪：(1)由l1与l2的距离构建方程求a；(2)假设存在点p，并设出其坐标，根据条件建立方程求解并作出判断解(1)l1：4x2y2a0 (a0)，l2：4x2y10，两条平行线l1与l2间的距离为d，由已知，可得.又a0，可解得a3.(2)设点p的坐标为(x，y)，由条件，可知x0，y0.由条件和，可得化简得于是可得，4|xy1|4x2y1|，也就是4(xy1)4x2y1，或4(xy1)4x2y1，解得y，或8x2y50.当y时，代入方程|2xy3|xy1|，解得x30或x0，均舍去由，化简得，或，解得或(舍去)即存在满足题设条件的点p，其坐标为.探究提高(1)在应用两条直线间的距离公式时要注意两直线方程中x、y的系数必须相同(2)第(2)问是开放探索性问题，要注意解决此类问题的一般策略 已知a(4，3)，b(2，1)和直线l：4x3y20，在坐标平面内求一点p，使|pa|pb|，且点p到直线l的距离为2.解设点p的坐标为(a，b)，a(4，3)，b(2，1)，线段ab的中点m的坐标为(3，2)，线段ab的垂直平分线方程为y2x3，即xy50.点p(a，b)在上述直线上，ab50.又点p(a，b)到直线l：4x3y20的距离为2，2，即4a3b210，联立可得或.所求点p的坐标为(1，4)或.对称变换思想的应用典例：(12分)光线沿直线l1：x2y50射入，遇直线l：3x2y70后反射，求反射光线所在的直线方程审题视角(1)入射光线所在直线与反射光线所在直线关于l对称(2)对称点的连线被对称轴垂直平分规范解答解方法一由得反射点m的坐标为(1,2)2分又取直线x2y50上一点p(5，0)，设p关于直线l的对称点p(x0，y0)，由ppl可知，kpp.4分而pp的中点q的坐标为，q点在l上，3270.6分由得8分根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x2y330.12分方法二设直线x2y50上任意一点p(x0，y0)关于直线l的对称点为p(x，y)，则，4分又pp的中点q在l上，3270，6分由可得p点的坐标为x0，y0，10分代入方程x2y50中，化简得29x2y330，所求反射光线所在的直线方程为29x2y330.12分温馨提醒(1)综合利用物理学知识，利用对称变换的思想方法求解是本题的关键(2)构建方程解方程组是本题的又一重要方法(3)坐标转移法是对称变换中常用的方法之一(4)本题的易错点，一是计算错误，二是不能用对称的思想求解，亦即找不到解决问题的突破口方法与技巧1 两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合对于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2，l1l2k1k2；l1l2k1k21.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意2 对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称利用坐标转移法失误与防范1 在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑2 在运用两平行直线间的距离公式d时，一定要注意将两方程中的x，y系数化为分别相等a组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 直线l过点(1,2)且与直线2x3y40垂直，则l的方程是()a3x2y10 b3x2y70c2x3y50 d2x3y80答案a解析由题意知，直线l的斜率为，因此直线l的方程为y2(x1)，即3x2y10.2 (2012浙江)设ar，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件答案a解析若直线l1与l2平行，则a(a1)210，即a2或a1，所以“a1”是“直线l1与直线l2平行”的充分不必要条件3 从点(2,3)射出的光线沿与向量a(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为()ax2y40 b2xy10cx6y160 d6xy80答案a解析由直线与向量a(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k，所以直线的方程为y3(x2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(2,3)，所以反射光线过点(2,3)与(0,2)，由两点式知a正确4 已知直线l过点p(3,4)且与点a(2，2)，b(4，2)等距离，则直线l的方程为()a2x3y180b2xy20c3x2y180或x2y20d2x3y180或2xy20答案d解析设所求直线方程为y4k(x3)，即kxy43k0，由已知，得，k2或k.所求直线l的方程为2xy20或2x3y180.二、填空题(每小题5分，共15分)5 若不同两点p，q的坐标分别为(a，b)，(3b,3a)，则线段pq的垂直平分线l的斜率为_答案1解析由题可知kpq1，又klkpq1kl1.6 若直线ax2y20与直线x(a3)y10平行，则实数a的值为_答案1解析由两直线平行的条件得a(a3)2，解得a1或2，经检验，a2时两直线重合，所以两直线平行时，实数a的值为1.7 若直线m被两平行线l1：xy10与l2：xy30所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是1530456075其中正确答案的序号是_答案解析两直线xy10与xy30之间的距离为，又动直线l1与l2所截得的线段长为2，故动直线与两直线的夹角应为30，因此只有适合三、解答题(共22分)8 (10分)求过直线l1：x2y30与直线l2：2x3y80的交点，且到点p(0,4)的距离为2的直线方程解由解得l1，l2的交点为(1,2)设所求直线方程为y2k(x1)即kxy2k0，p(0,4)到直线的距离为2，2，解得：k0或k.直线方程为y2或4x3y20.9 (12分)已知两直线l1：axby40，l2：(a1)xyb0，求分别满足下列条件的a，b的值(1)直线l1过点(3，1)，并且直线l1与l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等解(1)l1l2，a(a1)(b)10，即a2ab0.又点(3，1)在l1上，3ab40.由得a2，b2.(2)l1l2，ab(a1)0，b，故l1和l2的方程可分别表示为：(a1)xy0，(a1)xy0，又原点到l1与l2的距离相等4，a2或a，a2，b2或a，b2.b组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 设a、b、c分别是abc中a、b、c所对边的边长，则直线xsin aayc0与bxysin bsin c0的位置关系是()a平行 b重合c垂直 d相交但不垂直答案c解析由，得bsin aasin b0.两直线垂直2 如图，已知a(4,0)、b(0,4)，从点p(2，0)射出的光线经直线ab反射后再射到直线ob上，最后经直线ob反射后又回到p点，则光线所经过的路程是 ()a2 b6c3 d2答案a解析由题意知点p关于直线ab的对称点为d(4,