高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9_8 圆锥曲线的综合问题 第3课时 定点、定值、探索性问题课件 文 新人教版

9 8圆锥曲线的综合问题 第3课时定点 定值 探索性问题 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 题型分类深度剖析 题型一定点问题 例1 2017 长沙联考 已知椭圆 1 a 0 b 0 过点 0 1 其长轴 焦距和短轴的长的平方依次成等差数列 直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q P 与椭圆分别交于点M N 各点均不重合且满足 1 求椭圆的标准方程 解答 设椭圆的焦距为2c 由题意知b 1 且 2a 2 2b 2 2 2c 2 又a2 b2 c2 a2 3 2 若 1 2 3 试证明 直线l过定点并求此定点 证明 几何画板展示 由题意设P 0 m Q x0 0 M x1 y1 N x2 y2 设l方程为x t y m y1 m y1 1 由题意y1 0 1 2 3 y1y2 m y1 y2 0 由题意知 4m2t4 4 t2 3 t2m2 3 0 代入 得t2m2 3 2m2t2 0 mt 2 1 由题意mt 0 mt 1 满足 得直线l方程为x ty 1 过定点 1 0 即Q为定点 思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法 1 引进参数法 引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量 再研究变化的量与参数何时没有关系 找到定点 2 特殊到一般法 根据动点或动线的特殊情况探索出定点 再证明该定点与变量无关 跟踪训练1 2016 河北衡水中学调研 如图 已知椭圆C的中心在原点 焦点在x轴上 离心率e F是右焦点 A是右顶点 B是椭圆上一点 BF x轴 BF 解答 1 求椭圆C的方程 2 设直线l x ty 是椭圆C的一条切线 点M y1 点N y2 是切线l上两个点 证明 当t 变化时 以MN为直径的圆过x轴上的定点 并求出定点坐标 解答 几何画板展示 因为l为切线 所以 2t 2 4 t2 2 2 2 0 即t2 2 2 0 设圆与x轴的交点为T x0 0 因为MN为圆的直径 当t 0时 不符合题意 故t 0 所以T为定点 故动圆过x轴上的定点 1 0 与 1 0 即椭圆的两个焦点 题型二定值问题 例2 2016 广西柳州铁路一中月考 如图 椭圆有两顶点A 1 0 B 1 0 过其焦点F 0 1 的直线l与椭圆交于C D两点 并与x轴交于点P 直线AC与直线BD交于点Q 解答 椭圆的焦点在y轴上 当直线l的斜率存在时 设直线l的方程为y kx 1 C x1 y1 D x2 y2 证明 当直线l的斜率不存在时 与题意不符 当直线l的斜率存在时 设直线l的方程为y kx 1 k 0 k 1 C x1 y1 D x2 y2 将两直线方程联立 消去y y1y2 k2x1x2 k x1 x2 1 故点Q的坐标为 k y0 思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 1 求代数式为定值 依题意设条件 得出与代数式参数有关的等式 代入代数式 化简即可得出定值 2 求点到直线的距离为定值 利用点到直线的距离公式得出距离的解析式 再利用题设条件化简 变形求得 3 求某线段长度为定值 利用长度公式求得解析式 再依据条件对解析式进行化简 变形即可求得 1 求椭圆C的方程 解答 证明 由题意可得A1 2 0 A2 2 0 设P x0 y0 由题意可得 2 x0 2 故 DE DF 为定值3 题型三探索性问题 1 求椭圆E的方程 解答 由已知 点C D的坐标分别为 0 b 0 b 解答 当直线AB的斜率存在时 设直线AB的方程为y kx 1 A B的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 其判别式 4k 2 8 2k2 1 0 x1x2 y1y2 x1x2 y1 1 y2 1 1 1 k2 x1x2 k x1 x2 1 当直线AB斜率不存在时 直线AB即为直线CD 思维升华 解决探索性问题的注意事项探索性问题 先假设存在 推证满足条件的结论 若结论正确则存在 若结论不正确则不存在 1 当条件和结论不唯一时要分类讨论 2 当给出结论而要推导出存在的条件时 先假设成立 再推出条件 3 当条件和结论都不知 按常规方法解题很难时 要开放思维 采取另外合适的方法 解答 跟踪训练3 2015 湖北 一种作图工具如图1所示 O是滑槽AB的中点 短杆ON可绕O转动 长杆MN通过N处铰链与ON连接 MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动 且DN ON 1 MN 3 当栓子D在滑槽AB内作往复运动时 带动N绕O转动一周 D不动时 N也不动 M处的笔尖画出的曲线记为C 以O为原点 AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系 1 求曲线C的方程 几何画板展示 由于当点D不动时 点N也不动 所以t不恒等于0 解答 2 设动直线l与两定直线l1 x 2y 0和l2 x 2y 0分别交于P Q两点 若直线l总与曲线C有且只有一个公共点 试探究 OPQ的面积是否存在最小值 若存在 求出该最小值 若不存在 说明理由 几何画板展示 当直线l的斜率存在时 可得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 16 0 因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点 所以 64k2m2 4 1 4k2 4m2 16 0 即m2 16k2 4 1 当且仅当k 0时取等号 所以当k 0时 S OPQ的最小值为8 综合 可知 当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时 OPQ的面积取得最小值8 典例 12分 椭圆C 1 a b 0 的左 右焦点分别是F1 F2 离心率为 过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1 1 求椭圆C的方程 2 点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点 连接PF1 PF2 设 F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M m 0 求m的取值范围 3 在 2 的条件下 过点P作斜率为k的直线l 使得l与椭圆C有且只有一个公共点 设直线PF1 PF2的斜率分别为k1 k2 若k2 0 证明为定值 并求出这个定值 设而不求 整体代换 思想与方法系列20 规范解答 思想方法指导 几何画板展示 对题目涉及的变量巧妙地引进参数 如设动点坐标 动直线方程等 利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组 再化为一元二次方程 从而利用根与系数的关系进行整体代换 达到 设而不求 减少计算 的效果 直接得定值 返回 解 1 由于c2 a2 b2 将x c代入椭圆方程 1 得y 2 设P x0 y0 y0 0 所以直线PF1 PF2的方程分别为 3 设P x0 y0 y0 0 则直线l的方程为y y0 k x x0 返回 课时作业 1 2 3 4 1 求椭圆C的标准方程 解答 得a2 4 b2 2 2 如图 椭圆左顶点为A 过原点O的直线 与坐标轴不重合 与椭圆C交于P Q两点 直线PA QA分别与y轴交于M N两点 试问以MN为直径的圆是否经过定点 与直线PQ的斜率无关 请证明你的结论 解答 1 2 3 4 证明如下 设P x0 y0 则Q x0 y0 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2016 安徽芜湖 马鞍山第一次质量检测 椭圆E 1 a b 0 的离心率为 点 为椭圆上的一点 1 求椭圆E的标准方程 解答 由 解得a2 6 b2 4 1 2 3 4 2 若斜率为k的直线l过点A 0 1 且与椭圆E交于C D两点 B为椭圆E的下顶点 求证 对于任意的k 直线BC BD的斜率之积为定值 证明 1 2 3 4 设直线l y kx 1 得 3k2 2 x2 6kx 9 0 设C x1 y1 D x2 y2 则 易知B 0 2 1 2 3 4 所以对于任意的k 直线BC BD的斜率之积为定值 1 2 3 4 1 求椭圆C的方程 1 2 3 4 解答 1 v 4 双曲线的焦点在x轴上 设焦点F c 0 则c2 4 v v 1 3 由椭圆C与双曲线共焦点 知a2 b2 3 设直线l的方程为x ty a 代入y2 2x 可得y2 2ty 2a 0 设P x1 y1 Q x2 y2 则y1 y2 2t y1y2 2a 1 2 3 4 2 在椭圆C上 是否存在点R m n 使得直线l mx ny 1与圆O x2 y2 1相交于不同的两点M N 且 OMN的面积最大 若存在 求出点R的坐标及对应的 OMN的面积 若不存在 请说明理由 解答 1 2 3 4 m2 n2 2 又 m2 4n2 4 1 2 3 4 4 已知椭圆C1 抛物线C2的焦点均在x轴上 C1的中心和C2的顶点均为原点O 从每条曲线上各取两个点 将其坐标记录于下表中 1 求C1 C2的标准方程 1 2 3 4 解答 1 2 3 4 解答 1 2 3 4 容易验证当直线l的斜率不存在时 不满足题意 当直线l的斜率存在