高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9_8圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题课件文新人教版

9 8圆锥曲线的综合问题 第2课时范围 最值问题 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 题型分类深度剖析 例1 2015 天津 已知椭圆 1 a b 0 的左焦点为F c 0 离心率为 点M在椭圆上且位于第一象限 直线FM被圆x2 y2 截得的线段的长为c FM 题型一范围问题 解答 1 求直线FM的斜率 几何画板展示 又由a2 b2 c2 可得a2 3c2 b2 2c2 设直线FM的斜率为k k 0 F c 0 则直线FM的方程为y k x c 2 求椭圆的方程 解答 几何画板展示 3 设动点P在椭圆上 若直线FP的斜率大于 求直线OP O为原点 的斜率的取值范围 解答 几何画板展示 设点P的坐标为 x y 直线FP的斜率为t 当x 1 0 时 有y t x 1 0 思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 1 利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系 从而确定参数的取值范围 2 利用已知参数的范围 求新参数的范围 解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系 3 利用隐含的不等关系建立不等式 从而求出参数的取值范围 4 利用已知的不等关系构造不等式 从而求出参数的取值范围 5 利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数 求其值域 从而确定参数的取值范围 跟踪训练1 2016 黄冈模拟 已知椭圆C 1 a b 0 与双曲线 y2 1的离心率互为倒数 且直线x y 2 0经过椭圆的右顶点 1 求椭圆C的标准方程 解答 又 直线x y 2 0经过椭圆的右顶点 2 设不过原点O的直线与椭圆C交于M N两点 且直线OM MN ON的斜率依次成等比数列 求 OMN面积的取值范围 解答 由题意可设直线的方程为y kx m k 0 m 0 M x1 y1 N x2 y2 消去y 并整理得 1 4k2 x2 8kmx 4 m2 1 0 于是y1y2 kx1 m kx2 m k2x1x2 km x1 x2 m2 又直线OM MN ON的斜率依次成等比数列 又由 64k2m2 16 1 4k2 m2 1 16 4k2 m2 1 0 得0 m2 2 显然m2 1 否则x1x2 0 x1 x2中至少有一个为0 直线OM ON中至少有一个斜率不存在 与已知矛盾 设原点O到直线的距离为d 故由m的取值范围可得 OMN面积的取值范围为 0 1 题型二最值问题 例2 2016 锦州模拟 过抛物线y2 4x的焦点F的直线交抛物线于A B两点 点O是坐标原点 则 AF BF 的最小值是 命题点1利用三角函数有界性求最值 答案 解析 几何画板展示 例3 2015 江苏 在平面直角坐标系xOy中 P为双曲线x2 y2 1右支上的一个动点 若点P到直线x y 1 0的距离大于c恒成立 则实数c的最大值为 命题点2数形结合利用几何性质求最值 答案 解析 几何画板展示 例4 2016 山东 如图 已知椭圆C 1 a b 0 的长轴长为4 焦距为2 命题点3转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值 解答 1 求椭圆C的方程 设椭圆的半焦距为c 证明 设P x0 y0 x0 0 y0 0 由M 0 m 可得P x0 2m Q x0 2m 解答 求直线AB的斜率的最小值 设A x1 y1 B x2 y2 直线PA的方程为y kx m 直线QB的方程为y 3kx m 整理得 2k2 1 x2 4mkx 2m2 4 0 由m 0 x0 0 可知k 0 思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多 解法灵活多变 但总体上主要有两种方法 一是利用几何法 即通过利用曲线的定义 几何性质以及平面几何中的定理 性质等进行求解 二是利用代数法 即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个 些 参数的函数 解析式 然后利用函数方法 不等式方法等进行求解 跟踪训练2 2016 沧州模拟 已知椭圆C x2 2y2 4 1 求椭圆C的离心率 解答 所以a2 4 b2 2 从而c2 a2 b2 2 2 设O为原点 若点A在直线y 2上 点B在椭圆C上 且OA OB 求线段AB长度的最小值 解答 设点A B的坐标分别为 t 2 x0 y0 其中x0 0 课时作业 1 设抛物线y2 8x的准线与x轴交于点Q 若过点Q的直线l与抛物线有公共点 则直线l的斜率的取值范围是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Q 2 0 设直线l的方程为y k x 2 代入抛物线方程 消去y整理得k2x2 4k2 8 x 4k2 0 由 4k2 8 2 4k2 4k2 64 1 k2 0 解得 1 k 1 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 根据勾股定理 求 MP 的最小值可以转化为求 OP 的最小值 当 OP 取得最小值时 点P的位置为双曲线的顶点 3 0 而双曲线的渐近线为4x 3y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 已知F1 F2分别是双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点 对于左支上任意一点P都有 PF2 2 8a PF1 a为实半轴长 则此双曲线的离心率e的取值范围是 答案 解析 A 1 B 2 3 C 1 3 D 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义 所以 PF1 2a PF2 4a 在 PF1F2中 PF1 PF2 F1F2 又e 1 所以1 e 3 故选C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 2016 邢台摸底 已知M是抛物线x2 4y上一点 F为其焦点 点A在圆C x 1 2 y 5 2 1上 则 MA MF 的最小值是 答案 解析 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 依题意 由点M向抛物线x2 4y的准线l y 1引垂线 垂足为M1 则有 MA MF MA MM1 结合图形 图略 可知 MA MM1 的最小值等于圆心C 1 5 到y 1的距离再减去圆C的半径 即6 1 5 因此 MA MF 的最小值是5 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 由条件知m 2 n m n 则n 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 已知双曲线C的两个焦点分别为F1 2 0 F2 2 0 双曲线C上一点P到F1 F2的距离差的绝对值等于2 1 求双曲线C的标准方程 解答 依题意 得双曲线C的实半轴长为a 1 又其焦点在x轴上 所以双曲线C的标准方程为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 经过点M 2 1 作直线l交双曲线C的右支于A B两点 且M为AB的中点 求直线l的方程 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 设A B的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 两式相减 得3 x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 因为M 2 1 为AB的中点 所以12 x1 x2 2 y1 y2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 故AB所在直线l的方程为y 1 6 x 2 即6x y 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 已知定点G 1 2 点D是双曲线C右支上的动点 求 DF1 DG 的最小值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 由已知 得 DF1 DF2 2 即 DF1 DF2 2 所以 DF1 DG DF2 DG 2 GF2 2 当且仅当G D F2三点共线时取等号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为 2 0 右顶点为 0 1 求双曲线C的方程 解答 又a2 b2 c2 得b2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 若直线 y kx m k 0 m 0 与双曲线C交于不同的两点M N 且线段MN的垂直平分线过点A 0 1 求实数m的取值范围 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解答 整理得 1 3k2 x2 6kmx 3m2 3 0 直线与双曲线有两个不同的交点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 设M x1 y1 N x2 y2 MN的中点为B x0 y0 由题意 AB MN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 整理得3k2 4m 1 将 代入 得m2 4m 0 m4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 求椭圆的方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解答 由题意 知椭圆的焦点在y轴上 2 求m的取值范围 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解答 设A x1 y1 B x2 y2 由题意 知直线l的斜率存在 设其方程为y kx m 与椭圆方程联立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 k2 x2 2mkx m2 4 0 2mk 2 4 2 k2 m2 4 0 1 2 3 4 5 6 7