2015届高考理科数学一轮-第六章不等式与推理证明复习题及答案解6.6直接证明与间接证明.docx

第6课时直接证明与间接证明1了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点2了解间接证明的一种基本方法反证法，了解反证法的思考过程、特点对应学生用书P106【梳理自测】1否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()Aa，b，c都是奇数Ba，b，c都是偶数Ca，b，c中至少有两个偶数Da，b，c中至少有两个偶数或都是奇数2命题“对于任意角，cos4sin4cos 2”的证明：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos 2”过程应用了()A分析法B综合法C综合法、分析法综合使用 D间接证明法3(教材改编)设a，bR，若a|b|0，则下列不等式中正确的是()Aba0 Ba3b30Ca2b20 Dba04(教材改编题)要证明2，可选择的方法有下面几种，其中最合理的是()A综合法 B分析法C特殊值法 D其他方法5用反证法证明命题“如果ab，那么”时，假设的内容是_答案：1.D2.B3.D4.B5.以上题目主要考查了以下内容：(1)直接证明综合法a定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法b框图表示：PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)分析法a定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止这种证明方法叫做分析法X k B 1 . c o mb框图表示：QP1P1P2P2P3得到一个明显成立的条件(2)间接证明一般地，由证明pq转向证明：綈qrt.t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法【指点迷津】1一个关系综合法与分析法是一种互逆关系：即相逆的推理过程2两个防范(1)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的(2)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立对应学生用书P106考向一综合法的应用已知f(x)ln x，f(x)在xx0处取最大值，以下各式正确的序号为()f(x0)x0f(x0)x0f(x0)x0f(x0)f(x0)ABC D【审题视点】此题是比较函数最大值，f(x0)与数x0和的大小关系用综合法推导f(x)的单调性及结论【典例精讲】f(x)(ln x)(1)(1)，由题意可知f(x0)0，即ln x0x010，ln x0(x01)，故f(x0)ln x0x0.令函数g(x)ln xx1(x0)，则g(x)10，故函数g(x)为增函数，而g()ln()ln e0g(x0)，x0，即f(x0).故选B.【类题通法】综合法的思维特点是由已知入手推出结论：此题的推理是：已知f(x0)最大f(x0)0f(x0)x0；g(x)0g(x)增x0f(x0).1若a、b、c是不全相等的正数，求证：lg lg lg lg alg blg c.证明：a、b、c(0，)，0，0，0.由于a，b，c是不全相等的正数，所以上述三个不等式中等号不能同时成立，abc0成立上式两边同时取常用对数，得lglg(abc)，lg lg lg lg alg blg c.考向二分析法的应用已知函数f(x)3x2x，求证：对于任意的x1，x2R，均有f()【审题视点】把f(x1)f(x2)和f()分别用函数写出来，逐步分析要证的不等式【典例精讲】要证明f()，即证明32，因此只要证明(x1x2)3(x1x2)，即证明3，因此只要证明，由于x1，x2R时，3x10，3x20，由基本不等式知显然成立，故原结论成立【类题通法】分析法是数学中常用到的一种直接证明方法，就证明程序来讲，它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法具体地说，即先假设所要证明的结论是正确的，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证2已知ABC三边a，b，c的倒数成等差数列，证明：B为锐角证明：要证明B为锐角，根据余弦定理，也就是证明cos B0，即需证a2c2b20.由于a2c2b22acb2，要证a2c2b20.只需证2acb20.a，b，c的倒数成等差数列，即2acb(ac)要证2acb20.只需证b(ac)b20，即b(acb)0.上述不等式显然成立B必为锐角考向三反证法(2014浙江杭州模拟)已知函数f(x)ax(a1)(1)证明：函数f(x)在(1，)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)0没有负数根【审题视点】(1)用增函数定义证明；(2)假设有负数根，根据指数函数性质证出矛盾【典例精讲】(1)任取x1，x2(1，)，不妨设x1x2，则x2x10.a1，ax2x11且ax10，ax2ax1ax1(ax2x11)0.又x110，x210，0，于是f(x2)f(x1)ax2ax10，故函数f(x)在(1，)上为增函数(2)假设存在x00(x01)满足f(x0)0，则ax0.a1，0ax01，01，即x02，与假设x00相矛盾，故方程f(x)0没有负数根【类题通法】当一个命题的结论是以“至多”，“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：与已知条件矛盾；与假设矛盾；与定义、公理、定理矛盾；与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器3等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列解析：(1)由已知得w W w .x K b 1.c o Md2，故an2n1，Snn(n)(2)证明：由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则bbpbr.即(q)2(p)(r)(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，pr，(pr)20.pr，与pr矛盾数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列对应学生用书P108 反证法证明题的规范答题(2013高考陕西卷)设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明：数列an1 不是等比数列【审题视点】(1)利用等比数列的概念及通项公式推导前n项和公式；(2)利用反证法证明要证的结论【思维流程】当q1时，求Sn.当q1时，构造qSn.错位相减假设结论、构造等式转化为关于q的方程，得出矛盾得出正确结论【规范解答】(1)设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；2分当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，4分Sn，Sn6分(2)证明：假设an1是等比数列，则对任意的kN，(ak11)2(ak1)(ak21)，8分a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，11分q1，这与已知矛盾假设不成立，故an1不是等比数列.12分【规范建议】(1)推导Sn时，不可漏掉q1.(2)假设an1是等比数列时，不可用a11，a21与a31建立关系来说明矛盾1(2013高考湖北卷)已知0，则双曲线C1：1与C2：1的()A实轴长相等B虚轴长相等C离心率相等 D焦距相等解析：选D.先确定实半轴和虚半轴的长，再求出半焦距双曲线C1和C2的实半轴长分别是sin 和cos ，虚半轴长分别是cos 和sin ，则半焦距c都等于1，故选D.2(2013高考辽宁卷)已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)若OAB为直角三角形，则必有()Aba3Bba3C(ba3)0D|ba3|0解析：选C.根据直角三角形的直角的位置求解若以O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为0，此时O，B重合，不符合题意；若A，则ba30.若B，根据斜率关系可知a21，所以a(a3b)1，即ba30.以上两种情况皆有可能，故只有C满足条件3(2013高考浙江卷)设ABC，P0是边AB上一定点，满足P0BAB，且对于边AB上任一点P，恒有，则()AABC90 BBAC90CABAC DACBC解析：选D.根据向量投影的概念，对选项逐一验证排除不符合的选项不妨设AB4，则P0B1，P0A3.设点C在直线AB上的投影为点C.A项，若ABC90，如图，则|cosBPC|2，|2.当点P落在点P0的右侧时，|2|2，即，不符合；B项，若BAC90，如图，则|cosBPC|，|3.当P为AB的中点时，4，不符合；C项，若ABAC，假设BAC120，如图，则AC2，|cosBPC|，|cosBP0C|5.当P落在A点时，