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数学复习题参考答案一、 填空题1;解:2设方程确定函数, 则;解:(隐函数求导) 方程两边同时对求导得3积分;解:4方程的通解为;解:此方程为一阶线性非齐次方程,该方程通解为5已知矩阵满足方程 则_。解:因为,所以6_;解:7设方程确定函数, 则_;解:解:(隐函数求导) 方程两边同时对求导得8积分_;解:9方程的通解为;解:非齐次项为复数的二阶常系数非齐次方程求解。10已知矩阵满足方程 则_。11计算定积分=_。解:12设参数方程确定函数, 则_。解:13已知那么_, _。解:14_。解:,该方程通解为15计算定积分=_。解:16设参数方程确定函数, 则_。解:17已知那么_, _。解:又18 _。解:,该方程通解为19设A、B都是3阶方阵,AB+B=2I,则 。解:20计算定积分=_。解:21由方程确定的函数,则_。解:22已知那么_, _。解:23微分方程的通解为_。解:24 已知方阵A的行列式,且,这里表示A的伴随矩阵,则k =_。解:25函数的定义域为 。解:二、 选择题以下各题的四个选项中只有一个符合题目要求。1当 ( C )时, 函数在点处连续A . 0 B . 1 C . 2 D . 3解:2设为常数, 则级数是( C )A . 发散 B . 条件收敛 C . 绝对收敛 D . 收敛性与的值无关解:3设函数在点处可导,则( A )A . B . C . 0 D . 解:4若,则函数在点处( B )A . 一定有极大值 B . 一定有极小值 C . 不一定有极值 D . 一定没有极值解:在左右两边符号发生改变,先减后增。所以一定有极小值。5已知是非齐次线性方程组,是其导出的齐次线性方程组,是的一个特解,是的一组基础解系,则下述判断正确的是( D )A . 也是的一组基础解系B . 的任意线性组合都是的解C . 线性相关D . 能线性表出的每个解解:A 不是的的解 B 每项系数都取零,零不是的解 C 线性无关6当 ( B )时, 函数在点处连续。A . 0 B . 1 C . 2 D . 3解:7当时, 级数是( C )。A . 发散 B . 条件收敛 C . 绝对收敛 D . 敛散性与的值有关解:收敛,对来说,8设,则 ( A )。A . B . C . D . 解:9设函数在闭区间上连续,在开区间上可导,且,则必有( C )。A . B . C . D . 解:10 A . 也是的一组基础解系B . 的任意线性组合都是的解C . 线性相关D . 能线性表出的每个解此题应该同第5题!11 ( C )。A . 0 B . 1 C . 2 D . 3解:12当时, 级数是( B )。A . 发散 B . 条件收敛 C . 绝对收敛 D . 敛散性与的值有关解:收敛,又13设在区间上,令, 则 ( D )。A. B. C. D . 解:,又,则在单调递减。所以,即。或者由几何直观解释。右矩形面积梯形面积曲边梯形面积。14若函数是上的连续函数,则( B )。A. B. C. D .解:15 ( B )。A . -1 B . 1 C . 2 D . 3解:16若级数发散,则( A )。发散,发散,17设为椭圆正向,则曲线积分( A )。解:(对称性)17设是由曲线与直线及所围成的区域,则二重积分( D )。A B C D 解:18若函数是上的连续函数,则( B )。A. B. C. D .解:19设是三个3维列向量,A是3阶方阵,则下述说法正确的是(A ) A. 若线性相关,则线性相关 B. 若线性无关,则线性无关C. 若线性相关,则线性无关 D. 若线性无关,则线性相关解:若, 所以,有若线性相关,则线性相关 。 20 ( A )。A . 4 B . 1 C . 2 D . 3解:21若级数在点处收敛,则的取值范围( B )。A. B. C. D. 解:的收敛域为,即,又因为级数在点处收敛,则的取值范围为。22设, 则 ( B )。A B. C D. 解: 23设在内可导,且当时。 记 ,则的大小顺序是( C )。 A. B. C. D. 解:由单调性和lagrange中值定理可知。24设非齐次线性方程组的通解是(这里是任意常数),则系数矩阵A的秩为( )。A0 B1 C2 D3 此题有问题!若有3个未知量,则选(C)。25以下结论正确的是(C )。A. 函数的导数不存在的点,一定不是的极值点。B. 若为函数的驻点,则必为的极值点。C. 若函数 在点处有极值,且存在,则必有。D. 若函数在点处连续,则一定存在。解:由费马引理可知。三、 计算题1计算;解:2设函数具有二阶连续导数,求 ;解:3已知的一个原函数是,求;解:因为的一个原函数是,所以4当为何值时,函数在点处取极值? 是极大还是极小值? 并求此极值;解:,此时所以,是极大值点,且极大值为。5计算,其中由,轴围成;解:6计算曲线积分,其中是从沿曲线到的一段曲线;解:则曲线积分与路径无关。6 已知积分,是由直线围成的区域,求积分。解:7将函数展开为的幂级数, 并求收敛区间;解:8求微分方程的解;解:齐次微分方程的特征根为,通解为又因为非齐次项中是特征单根,故可设特解把代入,得所以,微分方程的通解为满足初始条件的特解为9已知线性方程组(1)问参数满足什么条件时,该方程组无解、有唯一解、有无穷多个解?(2)当该方程组有唯一解时,求其唯一解。解:(1)所以,当时,无解;时有唯一解,时,有无穷多解。(2)此时唯一解为:。10已知向量组 线性无关,令 ,求向量组的秩和一个极大无关组。解:因为,又,而 线性无关,所以,向量组的秩为3,并且它的一个极大无关组为:11计算极限。解:12设函数具有二阶连续导数,求 。解:13求积分,其中。解:14求点到抛物线的最短距离。 解:设为抛物线上任一点,则即点到抛物线的最短距离为6。15计算,其中是由轴,轴和直线围成区域。解:16计算曲线积分,其中是从沿曲线到的一段曲线。解:所以,此曲线积分与路径无关。则17将函数展开为的幂级数, 并求收敛区间。解:因为18求微分方程的通解。解:此方程为一阶线性非齐次方程,因为,该方程通解为19已知线性方程组(1)问参数满足什么条件时,该方程组无解、有唯一解、有无穷多个解?(2)当该方程组有唯一解时,求其唯一解。解:(1)所以,当时,无解;时有唯一解,时,有无穷多解。(2)此时唯一解为:。20已知向量组 线性无关,令 ,求向量组的秩和一个极大无关组。解:因为,又,而 线性无关,所以,向量组的秩为3,并且它的一个极大无关组为:21计算极限。解:22设函数具有二阶连续偏导数,求 。解:23计算广义积分。解:24在椭圆的第一象限部分上求一点,使该点处的切线、椭圆和两坐标轴所围图形的面积最小。 解:设为满足条件的椭圆上的点,则有,切线方程为:即则该点处的切线、两坐标轴所围的直角三角形面积为:,且在时取等号,此时。25计算二重积分,其中积分区域。解:26计算曲线积分,其中是圆的正向。解:26计算二重积分,其中是圆。解:27将函数展开为的幂级数, 并求收敛区间。解:28 求微分方程满足初始条件的解。解:齐次微分方程的特征根为,通解为又因为非齐次项中是特征单根,故可设特解把代入,得所以,微分方程的通解为满足初始条件的特解为29 已知,求正整数的值。解:30设函数具有二阶连续偏导数,求 。解:31若,计算定积分。解: 32在椭圆的第一象限部分上求一点,使该点处的切线、椭圆和两座标轴所围图形的面积最小。 解:设为满足条件的椭圆上的点,则有,切线方程为:即则该点处的切线、两坐标轴所围的直角三角形面积为:,且在时取等号,此时。33计算,其中是单位圆的内部。解:34计算曲线积分,其中是圆的正向。解:34计算二重积分,其中是正方形区域。解:35将函数展开为的幂级数, 并求收敛区间。解:36求微分方程满足初始条件的解。解:特征方程为:,则该齐次方程的通解为其中为任意常数,又,特解为37已知线性方程组有解,求该方程组的通解并确定参数a、b、c、d应满足的条件。解:把解代入第3个方程得,且。38设,(1)讨论当l取何值时,齐次线性方程组有非零解?(2)利用(1)的结果,讨论当l取何值时,齐次线性方程组有非零解?解:所以,是的特征值,对应有特征向量,即齐次线性方程组有非零解。(2)因为是的特征值,所以是的特征值,即齐次线性方程组有非零解。39计算极限。解:40设,其中具有二阶连续偏导数,有二阶导数,求 。解:41计算广义积分。解:42求微分方程的通解。解:齐次微分方程的特征根为,通解为又因为非齐次项中不是特征根,故可设特解把代入,得所以,微分方程的通解为43计算二重积分,其中积分区域由直线和曲线围成。解:44若曲线积分与路径无关,其中连续可导且,求。解:因为44求由曲线所围成的第一象限部分的面积。解:45将函数展开为的幂级数, 并求级数的和。解:因为所以46设在内可导,其反函数为,且满足与。求 ; 。

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