2.1等差数列

等差数列 1 数列定义及其通项公式 按一定次序排成的一列数叫做数列 一般写成 如果数列 an 的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示 那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 第1项 第2项 第3项 第n项 或 引例一 一个剧场设置了20排座位 这个剧场从第一排起各排都标有座位数 38 40 42 44 46 组成数列 38 40 42 44 46 耐克运动鞋 女 的尺码 鞋底长 单位是cm 引例二 得到数列 引例三 蓝白两种颜色的正六边形地面砖 按下图拼成若干个图案 图案中白色地面砖的块数是多少 6 10 14 得到数列 6 10 14 发现 观察 以上三个数列有什么共同特点 观察归纳 38 40 42 44 46 剧场组成数列 耐克运动鞋 女 的尺码组成数列 白色地面砖的块数组成数列 6 10 14 从第2项起 每一项与前一项的差都等于同一常数 一般地 如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 通常用字母d表示 等差数列定义 第2项起 同一个常数 4 数列 3 2 1 1 2 3 公差是3 不是 3 数列1 1 1 1 1 公差是0 2 数列6 4 2 0 2 4 公差是 2 当d 0时 等差数列是一个单调递增数列 当d 0时 等差数列是一个单调递减数列 当d 0时 等差数列是一个常数列 将有穷等差数列 an 的所有项倒序排列 所得数列仍是等差数列吗 如果是 公差是多少 想一想 例1判断下列数列是否为等差数列 1 an 2n 1 2 an 1 n 解 1 由通项知 该数列为 1 3 5 7 由an 2n 1 知an 1 2 n 1 1 an 1 an 2 n 1 1 2n 1 2 由n的任意性 这个数列是等差数列 2 由通项an 1 n 可知该数列为 1 1 1 1 a2 a1 1 1 2 a3 a2 1 1 2 由于a2 a1 a3 a2 所以第2个数列不是等差数列 问题 求等差数列3 7 11 的第4项与第10项 由a3 11d 7 3 4得 解 a4 a3 d 11 4 15a5 a4 d 15 4 19a6 a5 d 19 4 23a7 a6 d 23 4 27a8 a7 d 27 4 31a9 a8 d 31 4 35a10 a9 d 35 4 39 思考 求等差数列3 7 11 的第1000项 问题 若一个等差数列 它的首项为 公差是d 那么这个数列的通项公式是什么 等差数列 an 的首项是a1 公差是d 如 a2 a1 da3 a2 da4 a3 da5 a4 d an an 1 d an a1 n 1 d 即an a1 n 1 d 当n 1时 上式两边都等于a1 n N 公式成立 那么 则由定义得 an an 1 d n 2 等差数列的通项公式是 an a1 n 1 d a1 a2 a3 an 例2已知等差数列 an a1 1 d 求通项an 解 an a1 n 1 d知 由等差数列通项公式 an a1 n 1 d 1 n 1 an 1 n 1 例3 1 求等差数列9 5 1 的第10项 解 an a1 n 1 d 9 n 1 4 13 4n 当n 10时 所以 等差数列 an 的首项a1 1 公差d 4 2 已知等差数列 an an 4n 3 求首项a1和公差d 1 由a1 9 d 5 9 4 得 a10 13 4 10 27 2 由an 4n 3知 a1 4 1 3 1且d a2 a1 4 2 3 1 4 例4 解 an a1 n 1 d有 已知等差数列 an 中 a5 20 a20 35 试求出数列的通项公式 故数列 an 的通项公式为an 16 n 1 1 15 n 由等差数列的通项公式 解得 a1 16 d 1 问题 等差数列中 任意两项an和am之间有怎样的关系 有 an am n m d 解 an a1 n 1 d有 由等差数列的通项公式 变式公式 an am n m d 例4 解 已知等差数列 an 中 a5 20 a20 35 试求出数列的通项公式 故数列 an 的通项公式为 由公式 解得 d 1 an am n m d有 a20 a5 20 5 d 35 20 15d an a5 n 5 d 20 n 5 1 15 n 问题 若数列an pn q p q为常数 问 an 是否一定是等差数列 如果是 其首项和公差是什么 解 an an 1 pn q p n 1 q p d pa1 p q 等差数列