高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5_1 平面向量的概念及线性运算课件 理 苏教版

5 1平面向量的概念及线性运算 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 向量的有关概念 知识梳理 大小 方向 长度 模 0 0 1个单位长度 相同 相反 相同 相反 相等 相同 相等 相反 平行 2 向量的线性运算 三角形 平行四边形 b a a b c 几何画板展示 几何画板展示 三角形 相同 相反 0 a a a a b 几何画板展示 3 向量共线定理对于两个向量a a 0 b 如果有一个实数 使b a a 0 那么b与a是共线向量 反之 如果b与a a 0 是共线向量 那么有且只有一个实数 使b a 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 向量与有向线段是一样的 因此可以用有向线段来表示向量 2 a 与 b 是否相等与a b的方向无关 3 若a b b c 则a c 4 若向量与向量是共线向量 则A B C D四点在一条直线上 5 当两个非零向量a b共线时 一定有b a 反之成立 考点自测 1 给出下列命题 零向量的长度为零 方向是任意的 若a b都是单位向量 则a b 向量相等 则所有正确命题的序号是 答案 解析 根据零向量的定义可知 正确 根据单位向量的定义可知 单位向量的模相等 但方向不一定相同 故两个单位向量不一定相等 故 错误 2 教材改编 D是 ABC的边AB上的中点 则向量 答案 解析 如图 答案 解析 4 教材改编 已知实数m n和向量a b 给出下列命题 m a b ma mb m n a ma na 若ma mb 则a b 若ma na a 0 则m n 其中正确的命题是 答案 解析 若m 0 则ma mb 0 但a与b不一定相等 故 不正确 答案 解析 题型分类深度剖析 题型一平面向量的概念例1给出下列四个命题 若 a b 则a b 若A B C D是不共线的四点 则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件 若a b b c 则a c a b的充要条件是 a b 且a b 其中正确命题的序号是 答案 解析 不正确 两个向量的长度相等 但它们的方向不一定相同 又A B C D是不共线的四点 四边形ABCD为平行四边形 反之 若四边形ABCD为平行四边形 正确 a b a b的长度相等且方向相同 又b c b c的长度相等且方向相同 a c的长度相等且方向相同 故a c 不正确 当a b且方向相反时 即使 a b 也不能得到a b 故 a b 且a b不是a b的充要条件 而是必要不充分条件 综上所述 正确命题的序号是 向量有关概念的关键点 1 向量定义的关键是方向和长度 2 非零共线向量的关键是方向相同或相反 长度没有限制 3 相等向量的关键是方向相同且长度相等 4 单位向量的关键是方向没有限制 但长度都是一个单位长度 5 零向量的关键是方向没有限制 长度是0 规定零向量与任何向量共线 思维升华 跟踪训练1设a0为单位向量 若a为平面内的某个向量 则a a a0 若a与a0平行 则a a a0 若a与a0平行且 a 1 则a a0 上述命题中 假命题的个数是 答案 解析 3 向量是既有大小又有方向的量 a与 a a0的模相同 但方向不一定相同 故 是假命题 若a与a0平行 则a与a0的方向有两种情况 一是同向 二是反向 反向时a a a0 故 也是假命题 综上所述 假命题的个数是3 题型二平面向量的线性运算命题点1向量的线性运算 答案 解析 答案 解析 命题点2根据向量线性运算求参数 2 答案 解析 答案 解析 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 1 向量加法或减法的几何意义 向量加法和减法均适合三角形法则 2 求已知向量的和 一般共起点的向量求和用平行四边形法则 求差用三角形法则 求首尾相连向量的和用三角形法则 3 求参数问题可以通过研究向量间的关系 通过向量的运算将向量表示出来 进行比较求参数的值 思维升华 答案 解析 由向量加法的平行四边形法则可知 题型三共线定理的应用例4设两个非零向量a与b不共线 证明 又 它们有公共点B A B D三点共线 2 试确定实数k 使ka b和a kb共线 解答 假设ka b与a kb共线 则存在实数 使ka b a kb 即 k a k 1 b 又a b是两个不共线的非零向量 k k 1 0 消去 得k2 1 0 k 1 1 证明三点共线问题 可用向量共线解决 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系 当两向量共线且有公共点时 才能得出三点共线 2 向量a b共线是指存在不全为零的实数 1 2 使 1a 2b 0成立 若 1a 2b 0 当且仅当 1 2 0时成立 则向量a b不共线 思维升华 跟踪训练3设两个向量a与b不共线 1 试证 起点相同的三个向量a b 3a 2b的终点在同一条直线上 a b 证明 2 求实数k 使得ka b与2a kb共线 解答 因为ka b与2a kb共线 所以设ka b 2a kb R 即ka b 2 a k b 典例下列叙述错误的是 若a b b c 则a c 若非零向量a与b方向相同或相反 则a b与a b之一的方向相同 a b a b a与b方向相同 向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数 使得b a 0 若 a b 则a b 错解展示 容易忽视的零向量 现场纠错系列4 现场纠错 纠错心得 在考虑向量共线问题时 要注意考虑零向量 答案 返回 解析对于 当b 0时 a不一定与c平行 对于 当a b 0时 其方向任意 它与a b的方向都不相同 对于 当a b之一为零向量时结论不成立 对于 当a 0且b 0时 有无数个值 当a 0但b 0或a 0但b 0时 不存在 对于 由于两个向量之和仍是一个向量 对于 当 0时 不管a与b的大小与方向如何 都有 a b 此时不一定有a b 故 均错 答案 返回 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2016 徐州模拟 已知a b是两个非零向量 且 a b a b 则下列说法正确的是 a b 0 a b a与b共线反向 存在正实数 使a b 答案 解析 因为a b是两个非零向量 且 a b a b 则a与b共线同向 故D正确 2 教材改编 对于非零向量a b a b 是 a b 0成立 的 条件 填 充分不必要 必要不充分 充要 或 既不充分也不必要 答案 解析 必要不充分 由a b 0 可得a b 即得a b 但a b 不一定有a b 所以 a b 是 a b 0成立 的必要不充分条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 已知向量a b c中任意两个都不共线 但a b与c共线 且b c与a共线 则向量a b c 答案 解析 0 依题意 设a b mc b c na 则有 a b b c mc na 即a c mc na 又a与c不共线 于是有m 1 n 1 a b c a b c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 2 O为BC的中点 m n 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 取BC的中点D 连结PD AD AB AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 如图 网格纸上小正方形的边长为1 若起点和终点均在格点的向量a b c满足c xa yb x y R 则x y 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 如图 取单位向量i j 则 a i 2j b 2i j c 3i 4j c xa yb x i 2j y 2i j x 2y i 2x y j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 答案 解析 2a pb 2a b a b不共线 2 2 p 1 p 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 60 答案 解析 sinB sinA 0 sinC sinA 0 则sinB sinA sinC 根据正弦定理知b a c 1 2 3 4 5 6 7