高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3_1 导数的概念及运算课件

3 1导数的概念及运算 基础知识自主学习 课时训练 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 导数与导函数的概念 1 一般地 函数y f x 在x x0处的瞬时变化率是 我们称它为函数y f x 在x x0处的导数 记作 即f x0 2 如果函数y f x 在开区间 a b 内的每一点处都有导数 其导数值在 a b 内构成一个新函数 这个函数称为函数y f x 在开区间内的导函数 记作f x 或y 知识梳理 f x0 或y x x0 2 导数的几何意义 函数y f x 在点x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率k 即k 3 基本初等函数的导数公式 f x0 0 x 1 cosx sinx ex axlna 4 导数的运算法则 若f x g x 存在 则有 1 f x g x 2 f x g x f x g x f x g x f x g x 5 复合函数的导数 复合函数y f g x 的导数和函数y f u u g x 的导数间的关系为yx 即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积 yu ux y对u u对x 1 奇函数的导数是偶函数 偶函数的导数是奇函数 周期函数的导数还是周期函数 3 af x bg x af x bg x 4 函数y f x 的导数f x 反映了函数f x 的瞬时变化趋势 其正负号反映了变化的方向 其大小 f x 反映了变化的快慢 f x 越大 曲线在这点处的切线越 陡 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 f x0 是函数y f x 在x x0附近的平均变化率 2 f x0 与 f x0 表示的意义相同 3 曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点 4 与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线 5 函数f x sin x 的导数是f x cosx 考点自测 1 教材改编 若f x x ex 则f 1 等于A 0B eC 2eD e2 f x ex x ex f 1 2e 答案 解析 2 如图所示为函数y f x y g x 的导函数的图象 那么y f x y g x 的图象可能是 答案 解析 由y f x 的图象知y f x 在 0 上单调递减 说明函数y f x 的切线的斜率在 0 上也单调递减 故可排除A C 又由图象知y f x 与y g x 的图象在x x0处相交 说明y f x 与y g x 的图象在x x0处的切线的斜率相同 故可排除B 故选D f x cosx sinx 答案 解析 因为y x 0 5e0 5 所以曲线在点 0 2 处的切线方程为y 2 5 x 0 即5x y 2 0 答案 解析 4 曲线y 5ex 3在点 0 2 处的切线方程是 5x y 2 0 题型分类深度剖析 题型一导数的计算 例1求下列函数的导数 1 y x2sinx y x2 sinx x2 sinx 2xsinx x2cosx 解答 解答 解答 解答 解答 5 y ln 2x 5 令u 2x 5 则y lnu 1 求导之前 应利用代数 三角恒等式等变形对函数进行化简 然后求导 这样可以减少运算量 提高运算速度 减少差错 遇到函数的商的形式时 如能化简则化简 这样可避免使用商的求导法则 减少运算量 2 复合函数求导时 先确定复合关系 由外向内逐层求导 必要时可换元 思维升华 跟踪训练1 1 f x x 2016 lnx 若f x0 2017 则x0等于A e2B 1C ln2D e f x 2016 lnx x 2017 lnx 故由f x0 2017 得2017 lnx0 2017 则lnx0 0 解得x0 1 答案 解析 答案 解析 2 若函数f x ax4 bx2 c满足f 1 2 则f 1 等于A 1B 2C 2D 0 f x 4ax3 2bx f x 为奇函数且f 1 2 f 1 2 题型二导数的几何意义 命题点1求切线方程例2 1 2016 全国丙卷 已知f x 为偶函数 当x 0时 f x ln x 3x 则曲线y f x 在点 1 3 处的切线方程是 答案 解析 设x 0 则 x 0 f x lnx 3x 又f x 为偶函数 f x lnx 3x f x 3 f 1 2 切线方程为y 2x 1 即2x y 1 0 2x y 1 0 2 已知函数f x xlnx 若直线l过点 0 1 并且与曲线y f x 相切 则直线l的方程为A x y 1 0B x y 1 0C x y 1 0D x y 1 0 答案 解析 点 0 1 不在曲线f x xlnx上 设切点为 x0 y0 又 f x 1 lnx 切点为 1 0 f 1 1 ln1 1 直线l的方程为y x 1 即x y 1 0 故选B 命题点2求参数的值例3 2016 舟山模拟 函数y ex的切线方程为y mx 则m 答案 解析 e 答案 解析 直线l的斜率k f 1 1 又f 1 0 切线l的方程为y x 1 g x x m 设直线l与g x 的图象的切点为 x0 y0 于是解得m 2 故选D 命题点3导数与函数图象的关系例4如图 点A 2 1 B 3 0 E x 0 x 0 过点E作OB的垂线l 记 AOB在直线l左侧部分的面积为S 则函数S f x 的图象为下图中的 答案 解析 函数的定义域为 0 当x 0 2 时 在单位长度变化量 x内面积变化量 S大于0且越来越大 即斜率f x 在 0 2 内大于0且越来越大 因此 函数S f x 的图象是上升的且图象是下凸的 当x 2 3 时 在单位长度变化量 x内面积变化量 S大于0且越来越小 即斜率f x 在 2 3 内大于0且越来越小 因此 函数S f x 的图象是上升的且图象是上凸的 当x 3 时 在单位长度变化量 x内面积变化量 S为0 即斜率f x 在 3 内为常数0 此时 函数图象为平行于x轴的射线 导数的几何意义是切点处切线的斜率 应用时主要体现在以下几个方面 1 已知切点A x0 f x0 求斜率k 即求该点处的导数值 k f x0 2 已知斜率k 求切点A x1 f x1 即解方程f x1 k 3 若求过点P x0 y0 的切线方程 可设切点为 x1 y1 由 4 函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况 由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢 思维升华 求解即可 跟踪训练2 设切点的横坐标为x0 答案 解析 解得x0 3或x0 2 舍去 不符合题意 即切点的横坐标为3 解析 答案 典例若存在过点O 0 0 的直线l与曲线y x3 3x2 2x和y x2 a都相切 求a的值 求曲线的切线方程 现场纠错系列3 求曲线过一点的切线方程 要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况 纠错心得 现场纠错 错解展示 返回 解易知点O 0 0 在曲线y x3 3x2 2x上 1 当O 0 0 是切点时 由y 3x2 6x 2 得y x 0 2 即直线l的斜率为2 故直线l的方程为y 2x 依题意 4 4a 0 得a 1 2 当O 0 0 不是切点时 设直线l与曲线y x3 3x2 2x相切于点P x0 y0 返回 课时训练 1 若f x 2xf 1 x2 则f 0 等于A 2B 0C 2D 4 f x 2f 1 2x 令x 1 则f 1 2f 1 2 得f 1 2 所以f 0 2f 1 0 4 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 2016 东阳模拟 若曲线f x x4 x在点P处的切线平行于直线3x y 0 则点P的坐标为A 1 2 B 1 3 C 1 0 D 1 5 设点P的坐标为 x0 y0 因为f x 4x3 1 答案 解析 把x0 1代入函数f x x4 x 得y0 0 所以点P的坐标为 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 y 3x2 6x p 设切点为P x0 y0 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 已知曲线y lnx的切线过原点 则此切线的斜率为 答案 解析 因为切线过点 0 0 所以 lnx0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 2016 杭州质检 已知y f x 是可导函数 如图 直线y kx 2是曲线y f x 在x 3处的切线 令g x xf x g x 是g x 的导函数 则g 3 等于 答案 解析 A 1B 0C 2D 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 g x xf x g x f x xf x g 3 f 3 3f 3 又由题图可知f 3 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由已知得f x f 1 ex 1 f 0 x 所以f 1 f 1 f 0 1 即f 0 1 又f 0 f 1 e 1 所以f 1 e 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 2016 金华模拟 曲线y log2x在点 1 0 处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 若函数f x x2 ax lnx存在垂直于y轴的切线 则实数a的取值范围是 答案 解析 2 f x 存在垂直于y轴的切线 f x 存在零点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 已知曲线f x xn 1 n N 与直线x 1交于点P 设曲线y f x 在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn 则log2016x1 log2016x2 log2016x2015的值为 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 f x n 1 xn k f 1 n 1 点P 1 1 处的切线方程为y 1 n 1 x 1 x1 x2 x2015 则log2016x1 log2016x2 log2016x2015 log2016 x1x2 x2015 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 求曲线在点P 2 4 处的切线方程 在点P 2 4 处的切线的斜率为y x 2 4 曲线在点P 2 4 处的切线方程为y 4 4 x 2 即4x y 4 0 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 求曲线过点P 2 4 的切线方程 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x0 1 x0 2 2 0 解得x0 1或x0 2 故所求的切线方程为x y 2 0或4x y 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由题意得f x x2 4x 3 则f x x 2 2 1 1 即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是 1 12 已知函数f x x3 2x2 3x x R 的图象为曲线C 1 求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设曲线C的其中一条切线的斜率为k 2 若在曲线C上存在两条相互垂直的切线 求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围 解答 解得 1 k 0或k 1 故由 1 x2 4x 3 0或x2 4x 3 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 设函数f x ax 曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为7x 4y 12 0 1 求f x 的解析式 解答 1 2 3 4