高考数学一轮复习第三章导数及其应用3_3利用导数研究函数的最(极)值课件文

第3讲利用导数研究函数的最 极 值 考试要求1 函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 A级要求 2 利用导数求函数的极大值 极小值 闭区间上函数的最大值 最小值 其中多项式函数一般不超过三次 B级要求 知识梳理1 函数的极值若在函数y f x 的定义域I内存在x0 使得在x0附近的所有点x 都有 则称函数y f x 在点x x0处取得极大值 记作 若在x0附近的所有点x 都有 则称函数y f x 在点x x0处取得极小值 记作 f x f x0 y极大值 f x0 f x f x0 y极小值 f x0 2 求函数极值的步骤 1 求导数f x 2 求方程f x 0的所有实数根 3 观察在每个根xn附近 从左到右 导函数f x 的符号如何变化 若f x 的符号由正变负 则f xn 是极大值 若由负变正 则f xn 是极小值 若f x 的符号在xn的两侧附近相同 则xn不是函数f x 的极值点 3 函数的最值若在函数f x 的定义域I内存在x0 使得对于任意的x I 都有 则称f x0 为函数的最大值 记作ymax 若在函数f x 的定义域I内存在x0 使得对于任意的x I 都有 则称f x0 为函数的最小值 记作ymin f x f x0 f x0 f x f x0 f x0 4 求函数y f x 在区间 a b 上的最值的步骤 1 求f x 在区间 a b 上的极值 2 将第一步中求得的极值与f a f b 比较 得到f x 在区间 a b 上的最大值与最小值 诊断自测1 判断正误 在括号内打 或 1 函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的 2 函数的极大值不一定比极小值大 3 对可导函数f x f x0 0是x0为极值点的充要条件 4 函数的最大值不一定是极大值 函数的最小值也不一定是极小值 解析 1 函数在某区间或定义域内极大值可以不止一个 故 1 错误 3 对可导函数f x f x 0是x0为极值点的必要条件 答案 1 2 3 4 2 选修11P34T8 函数f x x3 3x2 2在区间 1 1 上的最大值是 解析 f x 3x2 6x 令f x 0 得x 0或x 2 f x 在 1 0 上是增函数 f x 在 0 1 上是减函数 f x max f x 极大值 f 0 2 答案2 考点一用导数研究函数的极值 多维探究 命题角度一根据函数图象判断极值 例1 1 设函数f x 在R上可导 其导函数为f x 且函数y 1 x f x 的图象如图所示 则下列结论 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 1 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 1 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 2 函数f x 有极大值f 2 和极小值f 2 其中一定成立的是 填序号 解析由题图可知 当x3 此时f x 0 当 22时 1 x0 由此可以得到函数f x 在x 2处取得极大值 在x 2处取得极小值 答案 若b 1 c 1 则f x x2 2x 1 x 1 2 0 f x 没有极值 若b 1 c 3 则f x x2 2x 3 x 3 x 1 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 规律方法 1 求函数f x 极值的步骤 确定函数的定义域 求导数f x 解方程f x 0 求出函数定义域内的所有根 列表检验f x 在f x 0的根x0左右两侧值的符号 如果左正右负 那么f x 在x0处取极大值 如果左负右正 那么f x 在x0处取极小值 2 可导函数y f x 在点x0处取得极值的充要条件是f x0 0 且在x0左侧与右侧f x 的符号不同 应注意 导数为零的点不一定是极值点 对含参数的求极值问题 应注意分类讨论 训练1 设函数f x ax3 2x2 x c a 0 1 当a 1 且函数图象过 0 1 时 求函数的极小值 2 若f x 在R上无极值点 求a的取值范围 考点二利用导数求函数的最值 例2 2017 徐州模拟 已知函数f x x k ex 1 求f x 的单调区间 2 求f x 在区间 0 1 上的最小值 解 1 由f x x k ex 得f x x k 1 ex 令f x 0 得x k 1 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 所以 f x 的单调递减区间是 k 1 单调递增区间是 k 1 2 当k 1 0 即k 1时 函数f x 在 0 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 0 k 当0 k 1 1 即1 k 2时 由 1 知f x 在 0 k 1 上单调递减 在 k 1 1 上单调递增 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f k 1 ek 1 当k 1 1 即k 2时 函数f x 在 0 1 上单调递减 所以f x 在区间 0 1 上的最小值为f 1 1 k e 综上可知 当k 1时 f x min k 当1 k 2时 f x min ek 1 当k 2时 f x min 1 k e 规律方法求函数f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 1 求函数在 a b 内的极值 2 求函数在区间端点的函数值f a f b 3 将函数f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 考点三利用导数研究生活中的优化问题 例3 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 不计厚度 设该蓄水池的底面半径为r米 高为h米 体积为V立方米 假设建造成本仅与表面积有关 侧面的建造成本为100元 平方米 底面的建造成本为160元 平方米 该蓄水池的总建造成本为12000 元 为圆周率 1 将V表示成r的函数V r 并求该函数的定义域 2 讨论函数V r 的单调性 并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大 规律方法求实际问题中的最大值或最小值时 一般是先设自变量 因变量 建立函数关系式 并确定其定义域 利用求函数的最值的方法求解 注意结果应与实际情况相结合 用导数求解实际问题中的最大 小 值时 如果函数在开区间内只有一个极值点 那么依据实际意义 该极值点也就是最值点 由上表可得 x 4是函数f x 在区间 3 6 内的极大值点 也是最大值点 所以 当x 4时 函数f x 取得最大值 且最大值等于42 答当销售价格为4元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 思想方法 1 利用导数研究函数的单调性 极值 最值可列表观察函数的变化情况 直观而且条理 减少失分 2 求极值 最值时 要求步骤规范 表格齐全 含参数时 要讨论参数的大小 3 可导函数y f x 在点x0处取得极值的充要条件是f x0 0 且在x0左侧与右侧f x 的符号不同 4 若函数y f x 在区间 a b 内有极值 那么y f x 在 a b 内绝不是单调函数 即在某区间