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第三章 微分中值定理与导数的应用 一 函数的极值及其求法 第五节函数的极值与最大值最小值 定义 函数的极大值与极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 注 极值是局部性的概念 极大值不一定比极小值大 定理1 必要条件 由费马引理可知 导数等于零的点称为驻点 对可导函数来讲 极值点必为驻点 但驻点只是极值点的必要条件 不是充分条件 另一方面 不可导点也可能是极值点 这就是说 极值点要么是驻点 要么是不可导点 两者必居其一 我们把驻点和孤立的不可导点统称为极值嫌疑点 下面给出两个充分条件 用来判别这些嫌疑点是否为极值点 定理2 极值存在的第一充分条件 一阶导数变号法 例1 解 列表讨论 极大值 极小值 图形如下 例2 解 定理3 极值存在的第二充分条件 称为 二阶导数非零法 1 记忆 几何直观 说明 2 此法只适用于驻点 不能用于判断不可导点 例3 解 图形如下 1 确定函数的定义域 4 用极值的第一或第二充分条件判定 注意第二充分条件只能判定驻点的情形 求极值的步骤 3 求定义域内部的极值嫌疑点 即驻点或一阶导数不存在的点 二 函数的最大值 最小值问题 极值是局部性的 而最值是全局性的 具体求法 例4 解 计算 比较得 更进一步 若实际问题中有最大 小 值 且有惟一驻点 则不必判断极大还是极小 立即可以断定该驻点即为最大 小 值点 则若为极小值点必为最小值点 若为极大值点必为最大值点 说明 将边长为a的正方形铁皮 四角各截去相同的小正方形 折成一个无盖方盒 问如何截 使方盒的容积最大 为多少 设小正方形的边长为x 则方盒的容积为 例5 解 将边长为a的正方形铁皮 四角各截去相同的小正方形 折成一个无盖方盒 问如何截 使方盒的容积最大 为多少 求导得 设小正方形的边长为x 则方盒的容积为 例5 解 将边长为a的正方形铁皮 四角各截去相同的小正方形 折成一个无盖方盒 问如何截 使方盒的容积最大 为多少 求导得 设小正方形的边长为x 则方盒的容积为 解 例5 要做一个容积为V的圆柱形罐头筒 怎样设计才能使所用材料最省 设底半径为r 高为h 总的表面积为 例6 解 即表面积最小 即高与底面直径相等 由实际问题 此时表面积最小 例7 解 利用最值证明不等式 例8 解 分析数列是离散函数 不能求导 应把n改为x 转化为连续函数 再求
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