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【备战2013】高考数学 5年高考真题精选与最新模拟 专题17 几何证明选讲 理【2012高考真题精选】（2012辽宁卷）如图18，o和o相交于a，b两点，过a作两圆的切线分别交两圆于c，d两点，连结db并延长交o于点e.证明：(1)acbdadab；(2)acae.（2012江苏卷如图17，ab是圆o的直径，d，e为圆o上位于ab异侧的两点，连结bd并延长至点c，使bddc，连结ac，ae，de.求证：ec.图17【答案】a.证明：如图，连结od，因为bddc，o为ab的中点，（2012湖北卷如图16所示，点d在o的弦ab上移动，ab4，连结od，过点d作od的垂线交o于点c，则cd的最大值为_（2012全国卷）正方形abcd的边长为1，点e在边ab上，点f在边bc上，aebf.动点p从e出发沿直线向f运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点p第一次碰到e时，p与正方形的边碰撞的次数为()a16 b14c12 d10（2012北京卷）如图13，acb90，cdab于点d，以bd为直径的圆与bc交于点e，则()acecbaddbbcecbadabcadabcd2dceebcd2（2012广东卷如图13，圆o的半径为1，a、b、c是圆周上的三点，满足abc30，过点a作圆o的切线与oc的延长线交于点p，则pa_.（2012湖南卷）如图13，过点p的直线与o相交于a，b两点若pa1，ab2，po3，则o的半径等于_（2012课标全国卷如图16，d，e分别为abc边ab，ac的中点，直线de交abc的外接圆于f，g两点若cfab，证明：(1)cdbc；(2)bcdgbd.（2012陕西卷如图15，在圆o中，直径ab与弦cd垂直，垂足为e，efdb，垂足为f，若ab6，ae1，则dfdb_.（2012天津卷）如图13所示，已知ab和ac是圆的两条弦，过点b作圆的切线与ac的延长线相交于点d.过点c作bd的平行线与圆相交于点e，与ab相交于点f，af3，fb1，ef，则线段cd的长为_图13【2011高考真题精选】（2011北京卷）如图12，ad，ae，bc分别与圆o切于点d，e，f，延长af与圆o交于另一点g.图12给出下列三个结论：adaeabbcca；afagadae；afbadg.其中正确结论的序号是()a bc d图12（2011广东卷)如图12，过圆o外一点p分别作圆的切线和割线交圆于a，b，且pb7，c是圆上一点使得bc5，bacapb，则ab_.（2011广东卷)如图13，在梯形abcd中，abcd，ab4，cd2，图13e、f分别为ad、bc上点，且ef3，efab，则梯形abfe与梯形efcd的面积比为_（2011湖南卷）如图12，a，e是半圆周上的两个三等分点，直径bc4，adbc，垂足为d，be与ad相交于点f，则af的长为_【答案】 【解析】 连结ao与ab，因为a，e是半圆上的三等分点，所以abo60，ebo30.因为oaob2，所以abo为等边三角形又因为ebo30，bad30，所以f为abo的中心，易得af.（2011辽宁卷）选修41：几何证明选讲图111 如图111，a，b，c，d四点在同一圆上，ad的延长线与bc的延长线交于e点，eced.(1)证明：cdab；(2)延长cd到f，延长dc到g，使得efeg，证明：a，b，g，f四点共圆（2011辽宁卷） 如图110，a，b，c，d四点在同一圆上，ad的延长线图110与bc的延长线交于e点，且eced.(1)证明：cdab；(2)延长cd到f，延长dc到g，使得efeg，证明：a，b，g，f四点共圆（2011课标全国卷）如图110，d，e分别为abc的边ab，ac上的点，且不与abc的顶点重合图110已知ae的长为m，ac的长为n，ad，ab的长是关于x的方程x214xmn0的两个根(1)证明：c，b，d，e四点共圆；(2)若a90，且m4，n6，求c，b，d，e所在圆的半径图111【解答】 (1)证明：连结de，根据题意在ade和acb中，adabmnaeac， (几何证明选做题)如图15，bd，aebc，acd90，且ab6，ac4，ad12，则be_.【答案】4【解析】 在rtadc中，cd8；在rtadc与rtabe中，bd，所以adcabe，故，becd4.【2010高考真题精选】1(2010年高考天津卷理科14)如图，四边形abcd是圆o的内接四边形，延长ab和dc相交于点p。若，则的值为 。 【答案】【解析】因为abcd四点共圆，所以pcb，cda=pbc，因为p为公共角，所以，所以，设pc=x，pb=y，则有，即，所以=。2. (2010年高考湖南卷理科10)如图1所示，过外一点p作一条直线与交于a，b两点，已知pa2，点p到o的切线长pt 4，则弦ab的长为_.3（2010年高考广东卷理科14）（几何证明选讲选做题）如图3，ab，cd是半径为a的圆o的两条弦，它们相交于ab的中点p，pd=，oap=30，则cp_.【答案】【解析】因为点p是ab的中点，由垂径定理知，.在中，.由相交线定理知，即，所以4（2010年高考陕西卷理科15）(几何证明选做题)如图,已知的两条直角边的长分别为,以为直径的圆与交于点,则. abcdo【解析】（方法一）易知，又由切割线定理得，.于是，.故所求.（方法二）连，易知是斜边上的高，由射影定理得，.故所求.5（2010年高考北京卷理科12）如图，o的弦ed，cb的延长线交于点a。若bdae，ab4, bc2, ad3,则de ；ce 。6（2010年高考江苏卷试题21）选修4-1：几何证明选讲ab是圆o的直径，d为圆o上一点，过d作圆o的切线交ab延长线于点c，若da=dc，求证：ab=2bc。【解析】 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。（方法一）证明：连结od，则：oddc， 又oa=od，da=dc，所以dao=oda=dco， doc=dao+oda=2dco，所以dco=300，doc=600，所以oc=2od，即ob=bc=od=oa，所以ab=2bc。（方法二）证明：连结od、bd。因为ab是圆o的直径，所以adb=900，ab=2 ob。因为dc 是圆o的切线，所以cdo=900。又因为da=dc，所以dac=dca，于是adbcdo，从而ab=co。即2ob=ob+bc，得ob=bc。故ab=2bc。7. (2010年全国高考宁夏卷22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已经圆上的弧，过c点的圆切线与ba的延长线交于e点，证明：（）ace=bcd；（）bc2=bfcd。【2009年高考真题精选】1（2009广东几何证明选讲选做题15）如图4，点a，b，c是圆o上的点，且，则圆o的面积等于 . 13【解析】解法一：连结、，则，则；解法二：，则.2.（2009海南宁夏22）如图，已知的两条角平分线ad和ce相交于h，f在ac上，且ae=af。 （i）证明：b，d，h，e四点共圆； （）证明：3（2009辽宁22） 已知abc中，ab=ac，d是abc外接圆劣弧ac的点（不与点a，c重合），延长bd至e。 （i）求证：ad的延长线平分cde； （ii）若bac=30，abc中bc边上的高为，求abc外接圆的面积。【2008年高考真题精选】1（2008广东，15）（几何证明选讲选做题）已知pa是圆o的切线，切点为a，pa=2，ac是圆o直径，pc与圆o交于点b，pb=1，则圆o的半径r= 。【答案】 【解析】作出图如下。 由切割线定理得pa2=pbpc，pc=4，故填3（2008江苏，21a，10分）如图，设abc的外接圆的切线ae与bc的延长线交于点e，bac的平分线与bc交于点d。 求证：ed2=eceb。4（2008宁夏、海南，22，10分）（选修41：几何证明选讲）如图，过圆o外一点m作它的一条切线，切点为a，过a点作直线ap垂直直线om，垂足为p。 （1）证明：omop=oa2； （2）n为线段ap上一点，直线nb垂直直线on，且交圆o于b点。过b点的切线交直线on于k。证明：okm=90。 又nop=mok，所以onpomk，故okm=opn=905.（2008海南宁夏22）选修14：几何证明选讲如图 ，过圆o外一点m作它的一条切线，切点a，过a点作直线ap垂直直线om，垂足为p.（）证明：omop=oa2；（）n为线段ap上一点，直线nb垂直直线on，且交圆o于b点，过b点的切线交直线on于k.证明：okm=90【最新模拟】1如图1，点a，b，c是圆o上的点，且ab4，acb45，则圆o的半径r_. 解析：如图2所示，连接oa、ob，则aob90，ab4，oaob，oa2，即r2.答案：2图32如图3，ab、cd是圆o内的两条平行弦，bfac，bf交cd于点e，交圆o于点f，过a点的切线交dc的延长线于点p，若pced1，pa2，则ac的长为_3如图4，已知圆o的半径为3，pab和pcd为圆o的两条割线，且o在线段ab上，若pb10，pd8，则线段cd_；cbd_.图4解析：因为pa102oa4，pcpdpapb40，所以pc5，cdpdpc3，连接oc，od，则ocd为正三角形，所以cod60，则cbd30.答案：330图54如图5，abc的外角eac的平分线ad交bc的延长线于点d，若ab是abc外接圆的直径，且eac120，bc6，则线段ad的长为_解析：因为ab为直径，所以acb90，又eac120，所以bac60，又bc6，得ac2，又acd90，cad60，则在rtacd中可得ad4.答案：4图65如图6，已知点c在o的直径be的延长线上，ca切o于点a，若abac，则_.6如图7，o与p相交于a、b两点，圆心p在o上，o的弦bc切p于点b，cp及其延长线交p于d，e两点，过点e作efce，交cb的延长线于点f.若cd2，cb2，则由b、p、e、f四点所确定的圆的直径为_则在rtfep中，pf，即由b、p、e、f四点确定的圆的直径为.答案：图87如图8，圆o上一点c在直径ab上的射影为d，ad2，ac2，则ab_.8如图9所示，圆的内接三角形abc的角平分线bd与ac交于点d，与圆交于点e，连接ae，已知ed3，bd6，则线段ae的长_.9如图10，正abc的边长为2，点m，n分别是边ab，ac的中点，直线mn与abc的外接圆的交点为p，q，则线段pm_.解析：设pmx，则qnx，由相交弦定理可得pmmqbmma，即x(x1)1，解得x.答案：10如图，a，b是两圆的交点，ac是小圆的直径，d和e分别是ca和cb的延长线与大圆的交点，已知ac4，be10，且bcad，则de_.11如图，过圆外一点p作o的割线pba与切线pe，e为切点，连接ae、be，ape的平分线分别与ae、be相交于点c、d，若aeb30，则pce_.解析：由切割线性质得：pe2pbpa，即，pbepea，pebpae，又pea的内角和为2(cpapae)30180，所以cpapae75，即pce75.答案：7512.如图，在直角梯形abcd中，dcab，cbab，abada，cd，点e，f分别为线段ab，ad的中点，则ef_.13如图，已知abc的两条角平分线ad和ce相交于h，b60，f在ac上，且aeaf.(1)求证：b，d，h，e四点共圆；(2)求证：ce平分def. (2)连接bh，则bh为abc的平分线，所以hbd30.由(1)知b，d，h，e四点共圆，所以cedhbd30.又aheebd60，由已知可得efad，可得cef30，所以ce平分def.14如图所示，o为abc的外接圆，且abac，过点a的直线交o于d，交bc的延长线于f，de是bd的延长线，连接cd.(1)求证：edfcdf；(2)求证：ab2afad.15如图，a，b，c，d四点在同一圆上，ad的延长线与bc的延长线交于e点，且eced.(1)证明：cdab；(2)延长cd到f，延长dc到g，使得efeg，证明：a，b，g，f四点共圆证明：(1)因为eced，所以edcecd.因为a，b，c，d四点在同一圆上，所以edceba，故ecdeba.所以cdab.(2)由(1)知，aebe，因为efeg，故efdegc，从而fedgec.连接af，bg，则efaegb，故faegbe.又cdab，edcecd，所以fabgba，所以afggba180，故a，b，g，f四点共圆16已知，如图，ab是o的直径，g为ab延长线上的一点，gcd是o的割线，过点g作ab的垂线，交直线ac于点e，交ad于点f，过g作o的切线，切点为h.求证：即gcgdgegf.gh为圆的切线，gcd为割线，gh2gcgd，gh2gegf.17.已知四边形pqrs是圆内接四边形，psr90，过点q作pr、ps的垂线，垂足分