2018届高中数学第二章空间向量与立体几何2.5.3直线与平面的夹角课件3北师大版选修.pptx

5 3直线与平面的夹角 第二章 5夹角的计算 知识梳理自主学习 知识点一直线与平面的夹角 1 平面外一条直线与它在该平面内的的夹角叫作该直线与此平面的夹角 2 如果一条直线与一个平面平行或在平面内 我们规定这条直线与平面的夹角为 3 如果一条直线与一个平面垂直 我们规定这条直线与平面的夹角是 4 直线与平面夹角的范围 5 斜线与平面夹角的范围 0 投影 知识点二直线与平面夹角的向量求法设平面 的斜线l的方向向量为a 平面的法向量为n 1 当a n与 l的关系如图所示时 则l与 所成角 与角 a n 互余 即sin cos a n 2 当a n与 l的关系如图所示时 则 a n 即sin cos a n l l 题型探究重点突破 题型一求直线与平面的夹角的基本方法例1如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求A1B与平面A1B1CD的夹角 解方法一连接BC1 B1C交于点O 连接A1O 在正方体ABCD A1B1C1D1中 B1C BC1 BC1 A1B1 B1C A1B1 B1 BC1 平面A1B1CD 故A1O为A1B在平面A1B1CD内的投影 即 BA1O为A1B与平面A1B1C的夹角 BA1O 30 A1B与平面A1B1CD的夹角是30 方法二如图所示 建立空间直角坐标系 设正方体的棱长为1 则有A1 1 0 1 B 1 1 0 B1 1 1 1 设平面A1B1CD的一个法向量为n x y z 令x 1 则有y 0 z 1 可取n 1 0 1 则A1B与平面A1B1CD的夹角是30 反思与感悟 求直线与平面的夹角的方法与步骤思路一 找直线在平面内的投影 充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角 或夹角的某一三角函数值 思路二 用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量 利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤 1 建立空间直角坐标系 3 求平面的法向量n 跟踪训练1如图所示 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 PD 平面ABCD PD DC E是PC的中点 求EB与平面ABCD夹角的余弦值 解析答案 解如图建立空间直角坐标系 设PD DC 1 取CD的中点M 则EM PD 又 PD 平面ABCD EM 平面ABCD BE在平面ABCD上的投影为BM MBE为BE与平面ABCD的夹角 则P 0 0 1 C 0 1 0 B 1 1 0 跟踪训练2在如图所示的几何体中 EA 平面ABC DB 平面ABC AC BC AC BC BD 2AE M是AB的中点 1 求证 CM EM 证明如图 以点C为坐标原点 以CA CB所在直线分别为x轴和y轴 过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴 建立如图空间直角坐标系 设EA a 则A 2a 0 0 B 0 2a 0 E 2a 0 a D 0 2a 2a M a a 0 2 求CM与平面CDE的夹角 解设向量n 1 y0 z0 与平面CDE垂直 所以y0 2 z0 2 即n 1 2 2 因此直线CM与平面CDE的夹角是45 课堂小结 利用空间向量求角的基本思路 把空间角转化为求两个向量之间的