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4 1 1变量与函数 第4章一次函数 导入新课 万物皆变 行星在宇宙中的位置随时间而变化 情境引入 气温随海拔而变化 汽车行驶里程随行驶时间而变化 为了更深刻地认识千变万化的世界 在这一章里 我们将学习有关一种量随另一种量变化的知识 共同见证事物变化的规律 讲授新课 我们生活在一个变化的世界 通常会看到在同一变化过程中 有两个相关的量 其中一个量往往随着另一个量的变化而变化 那我们如何来研究各种运动变化呢 数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化 问题1如图 用热气球探测高空气象 当t 3min h为650m 设热气球从海拔500m处的某地升空 它上升后到达的海拔高度hm与上升时间tmin的关系记录如下表 当t 2min h为600m 当t 1min h为550m 当t 0min h为500m 1 计时一开始 热气球的高度是多少 2 热气球的高度随时间的推移而升高的高度有规律吗 3 你能总结出h与t的关系吗 500m 50m 1 50m 50m 2 100m 50m 3 150m 50m 4 200m 50m t 50tm h 500 50t 4 哪些量发生了变化 哪些量没有发生变化 保持不变的量 常量 热气球原先所在的高度500m 气球上升的速度50m min 不断变化的量 热气球升空的时间tmin 气球升空的高度hm 变量 因别人变化而变化的量 自我发生变化的量 5 热气球上升的高度h与时间t 这两个变量之间有关系吗 t h 结论 在一个变化的过程中 取值会发生变化的量称为变量 取值固定不变的量称为常量 典例精析 例1指出下列事件过程中的常量与变量 1 某水果店橘子的单价为5元 千克 买a千橘子的总价为m元 其中常量是 变量是 2 周长C与圆的半径r之间的关系式是C 2 r 其中常量是 变量是 3 三角形的一边长5cm 它的面积S cm2 与这边上的高h cm 的关系式中 其中常量是 变量是 5 a m 2 C r 注意 是一个确定的数 是常量 S h 指出下列变化过程中的变量和常量 1 汽油的价格是7 4元 升 加油xL 车主加油付油费为y元 2 小明看一本200页的小说 看完这本小说需要t天 平均每天所看的页数为n 3 用长为40cm的绳子围矩形 围成的矩形一边长为xcm 其面积为Scm2 4 若直角三角形中的一个锐角的度数为 则另一个锐角 度 与 间的关系式是 90 练一练 例2阅读并完成下面一段叙述 某人持续以a米 分的速度用t分钟时间跑了s米 其中常量是 变量是 s米的路程不同的人以不同的速度a米 分各需跑的时间为t分 其中常量是 变量是 3 根据上面的叙述 写出一句关于常量与变量的结论 在不同的条件下 常量与变量是相对的 a t s s a t 区分常量与变量 就是看在某个变化过程中 该量的值是否可以改变 即是否可以取不同的值 问题2汽车在行驶过程中 由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住 这段距离称为刹车距离 刹车距离是分析事故原因的一个重要因素 1 式中哪个量是常量 哪个量是变量 哪个量是自变量 哪个量是因变量 某型号的汽车在平整路面上的刹车距离sm与车速vkm h之间有下列经验公式 2 当刹车时车速v分别是40 80时 相应的滑行距离s分别是多少 当v 40km h时 s 6 25m 当v 80km h时 s 25m 256 s v v s 一般地 如果变量y随着变量x而变化 并且对于x取的每一个值 y都有唯一的一个值与它对应 那么称y是x的函数 记作 y f x 这时把x叫作自变量 把y叫作因变量 对于自变量x取的每一个值a 因变量y的对应值称为函数值 记作f a 概念学习 典例精析 例3下列关于变量x y的关系式 y 2x 3 y x2 3 y 2 x y2 3x 10 其中表示y是x的函数关系的是 判断一个变量是否是另一个变量的函数 关键是看当一个变量确定时 另一个变量有唯一确定的值与它对应 一个x值有两个y值与它对应 例4 如图 已知圆柱的高是4cm 底面半径是r cm 当圆柱的底面半径r由小变大时 圆柱的体积V cm3 是r的函数 1 用含r的代数式来表示圆柱的体积V 指出自变量r的取值范围 2 当r 5 10时 V是多少 结果保留 圆柱的体积自变量r的取值范围是r 0 当r 5时 当r 10时 当堂练习 1 设路程为s 时间为t 速度为v 当v 60时 路程和时间的关系式为 这个关系式中 是常量 是变量 是的函数 60 s 60t t和s s t 2 油箱中有油30kg 油从管道中匀速流出 1h流完 则油箱中剩余油量Q kg 与流出时间t min 之间的函数关系式是 3 下列问题中 一个变量是否是另一个变量的函数 如果是 请指出自变量 1 改变正方形的边长x 正方形的面积S随之变化 2 秀水村的耕地面积是106m2 这个村人均占有耕地面积y 单位 m2 随这个村人数n的变化而变化 3 P是数轴上的一个动点 它到原点的距离记为x 它对应的实数为y y随x的变化而变化 解 1 S是x的函数 其中x是自变量 2 y是n的函数 其中n是自变量 3 y不是x的函数 例如 到原点的距离为1的点对应实数1或 1 变量与函数 常