高中数学 第三单元 导数及其应用 习题课 导数的应用课件 新人教b版选修1-1

第三章导数及其应用 习题课导数的应用 1 能利用导数研究函数的单调性 2 理解函数的极值 最值与导数的关系 3 掌握函数的单调性 极值与最值的综合应用 学习目标 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 知识点一函数的单调性与其导数的关系 定义在区间 a b 内的函数y f x 增 减 知识点二求函数y f x 的极值的方法 解方程f x 0 当f x0 0时 1 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极大值 2 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极小值 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 知识点三函数y f x 在 a b 上最大值与最小值的求法 1 求函数y f x 在 a b 内的极值 2 将函数y f x 的与端点处的函数值比较 其中的一个是最大值 的一个是最小值 极值 f a f b 最大 最小 题型探究 类型一函数与其导函数之间的关系 例1已知函数y xf x 的图象如图所示 其中f x 是函数f x 的导函数 则y f x 的图象大致是 答案 解析 当00 f x 0 故y f x 在 1 2 上为增函数 因此排除D 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时 注意抓住各自的关键要素 对于原函数 要重点考查其图象在哪个区间内单调递增 在哪个区间内单调递减 而对于导函数 则应考察其函数值在哪个区间内大于零 在哪个区间内小于零 并考察这些区间与原函数的单调区间是否一致 反思与感悟 跟踪训练1设函数f x 在R上可导 其导函数为f x 且函数f x 在x 2处取得极小值 则函数y xf x 的图象可能是 答案 解析 函数f x 在R上可导 其导函数为f x 且函数f x 在x 2处取得极小值 当x 2时 f x 0 当x 2时 f x 0 当x0 由此观察四个选项 故选A 类型二构造函数求解 答案 解析 令g x xf x 则g x x f x xf x g x 是偶函数 g x f x xf x 当x 0时 xf x f x 0 g x 在 0 上是减函数 反思与感悟 本例中根据条件构造函数g x xf x 通过g x 确定g x 的单调性 进而确定函数值的大小 此类题目的关键是构造出恰当的函数 答案 解析 a b 命题角度2求解不等式例3定义域为R的可导函数y f x 的导函数f x 满足f x 2ex的解集为A 0 B 2 C 0 D 2 解析 答案 f x 0 即函数g x 单调递增 则不等式等价于g x g 0 函数g x 单调递增 x 0 不等式的解集为 0 故选C 反思与感悟 令g x f x 2x 4 f x 2 则g x f x 2 0 又由g 1 f 1 2 1 4 0 得g x 0 即g x g 1 的解为x 1 f x 2x 4的解集为 1 跟踪训练3函数f x 的定义域为R f 1 2 对任意x R f x 2 则f x 2x 4的解集为A 1 1 B 1 C 1 D 答案 解析 命题角度3利用导数证明不等式例4已知x 1 证明不等式x 1 lnx 证明 设f x x 1 lnx x 1 即函数f x 在 1 上是增函数 又x 1 所以f x f 1 1 1 ln1 0 即x 1 lnx 0 所以x 1 lnx 反思与感悟 利用函数的最值证明不等式的基本步骤 1 将不等式构造成f x 0 或 0 的形式 2 利用导数将函数y f x 在所给区间上的最小值 或最大值 求出 3 证明函数y f x 的最小值 或最大值 大于零 或小于零 即可证得原不等式成立 跟踪训练4证明 当x 0时 2 2x 2ex 证明 设f x 2 2x 2ex 则f x 2 2ex 2 1 ex 当x 0时 ex e0 1 f x 2 1 ex 0时 2 2x 2ex 0 2 2x 2ex 类型三利用导数研究函数的极值与最值 例5已知函数f x x3 ax2 b的图象上一点P 1 0 且在点P处的切线与直线3x y 0平行 1 求函数f x 的解析式 因为f x 3x2 2ax 曲线在P 1 0 处的切线斜率为f 1 3 2a 即3 2a 3 a 3 又函数过 1 0 点 即 2 b 0 b 2 所以a 3 b 2 f x x3 3x2 2 解答 2 求函数f x 在区间 0 t 0 t 3 上的最大值和最小值 解答 由f x x3 3x2 2 得f x 3x2 6x 由f x 0 得x 0或x 2 当0 t 2时 在区间 0 t 上 f x 0 f x 在 0 t 上是减函数 所以f x max f 0 2 f x min f t t3 3t2 2 当2 t 3时 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 f x min f 2 2 f x max为f 0 与f t 中较大的一个 因为f t f 0 t3 3t2 t2 t 3 0 所以f x max f 0 2 3 在 1 的结论下 关于x的方程f x c在区间 1 3 上恰有两个相异的实根 求实数c的取值范围 解答 令g x f x c x3 3x2 2 c 则g x 3x2 6x 3x x 2 当x 1 2 时 g x 0 要使g x 0在 1 3 上恰有两个相异的实根 解得 2 c 0 即实数c的取值范围为 2 0 反思与感悟 1 求极值时一般需确定f x 0的点和单调性 对于常见连续函数 先确定单调性即可得极值点 当连续函数的极值点只有一个时 相应的极值点必为函数的最值点 2 求闭区间上可导函数的最值时 对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断 只需要直接与端点的函数值比较即可获得 跟踪训练5已知函数f x ax3 a 1 x2 48 a 2 x b的图象关于原点成中心对称 1 求a b的值 函数f x 的图象关于原点成中心对称 则f x 是奇函数 f x f x 即 ax3 a 1 x2 48 a 2 x b ax3 a 1 x2 48 a 2 x b 于是2 a 1 x2 2b 0恒成立 解答 2 求f x 的单调区间及极值 由 1 得f x x3 48x f x 3x2 48 3 x 4 x 4 令f x 0 得x1 4 x2 4 令f x 0 得x4 f x 的单调递减区间为 4 4 单调递增区间为 4 和 4 f x 极大值 f 4 128 f x 极小值 f 4 128 解答 3 当x 1 5 时 求函数的最值 由 2 知 函数在 1 4 上单调递减 在 4 5 上单调递增 对f 4 128 f 1 47 f 5 115 当x 1 5 时 函数的最大值为 47 最小值为 128 解答 当堂训练 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 由题意可知f 0 0 f 1 0 f 2 0 可得1 b c 0 8 4b 2c 0 解得b 3 c 2 所以函数的解析式为f x x3 3x2 2x 所以f x 3x2 6x 2 1 2 3 4 5 2 设f x g x 是定义在R上的恒大于0的可导函数 且f x g x f x g x f b g b B f x g a f a g x C f x g b f b g x D f x g x f a g a 答案 解析 f x g b f b g x 1 2 3 4 5 函数f x x 2 x2 c 在x 2处有极值 f x x2 c x 2 2x f 2 0 c 4 0 c 4 f x x2 4 x 2 2x 函数f x 的图象在x 1处的切线的斜率为f 1 1 4 1 2 2 5 3 若函数f x x 2 x2 c 在x 2处有极值 则函数f x 的图象在x 1处的切线的斜率为 答案 解析 5 4 函数f x x3 3x 1 若对于区间 3 2 上的任意x1 x2 都有 f x1 f x2 t 则实数t的最小值是 1 2 3 4 5 由f x 3x2 3 0 得x 1 则f x min f 3 19 f x max f 1 1 由题意知 f x1 f x2 max 19 1 20 t 20 故tmin 20 20 答案 解析 1 2 3 4 5 设f x x sinx x 0 则f x 1 cosx 0对x 0 恒成立 函数f x x sinx在 0 上单调递增 又f 0 0