二次函数y=ax²＋bx+c的图象与性质

26 2二次函数的图象与性质 第1课时二次函数y ax2 k的图象与性质 2 二次函数y ax2 bx c的图象与性质 第26章二次函数 1 会画二次函数y ax2 k的图象 重点 2 掌握二次函数y ax2 k的性质并会应用 难点 3 理解y ax 与y ax k之间的联系 重点 已知二次函数 y x2 y x2 y 15x2 y 4x2 y x2 y 4x2 1 其中开口向上的有 填题号 2 其中开口向下 且开口最大的是 填题号 3 当自变量由小到大变化时 函数值先逐渐变大 然后逐渐变小的有 填题号 导入新课 复习引入 情境引入 x y 讲授新课 探究归纳 解 先列表 例1在同一直角坐标系中 画出二次函数与的图象 描点 连线 画出这两个函数的图象 观察与思考 抛物线 的开口方向 对称轴和顶点各是什么 向上 向上 0 0 0 1 y轴 y轴 想一想 通过上述例子 函数y ax2 k的性质是什么 y 2 2 4 2 2 4 x 0 做一做在同一坐标系内画出下列二次函数的图象 根据图象回答下列问题 1 图象的形状都是 2 三条抛物线的开口方向 3 对称轴都是 4 从上而下顶点坐标分别是 5 顶点都是最 点 函数都有最 值 从上而下最大值分别为 6 函数的增减性都相同 抛物线 向下 直线x 0 0 0 0 2 0 2 高 大 y 0 y 2 y 2 y 2 2 2 2 4 x 0 对称轴左侧y随x增大而增大 对称轴右侧y随x增大而减小 二次函数y ax2 k a 0 的性质 知识要点 例2 已知二次函数y ax2 c 当x取x1 x2 x1 x2 时 函数值相等 则当x x1 x2时 其函数值为 解析 由二次函数y ax2 c图象的性质可知 x1 x2关于y轴对称 即x1 x2 0 把x 0代入二次函数表达式求出纵坐标为c c 方法总结 二次函数y ax2 c的图象关于y轴对称 因此左右两部分折叠可以重合 函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数 探究归纳 做一做 在同一直角坐标系中 画出二函数y 2x2 1与y 2x2 1的图象 解 先列表 9 5 5 3 1 3 5 5 9 7 3 5 1 1 1 3 5 7 y 2x2 1 y 2x2 1 1 抛物线y 2x2 1 y 2x2 1的开口方向 对称轴和顶点各是什么 二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 向上 0 1 0 1 y轴 y轴 y 2x2 1 y 2x2 1 2 抛物线y 2x2 1 y 2x2 1与抛物线y 2x2有什么关系 可以发现 把抛物线y 2x2向平移1个单位长度 就得到抛物线 把抛物线y 2x2向平移1个单位长度 就得到抛物线y 2x2 1 下 y 2x2 1 上 解析式 y 2x2 2x2 1 y 2x2 1 y 2x2 1 1 1 点的坐标 函数对应值表 4 5 1 5 3 5 5 5 1 2 1 3 x 2x2 2x2 1 x x x 2x2 1 2x2 2x2 1 从数的角度探究 可以看出 y 2x2向 平移一个单位长度得到抛物线y 2x2 1 5 3 2 1 6 4 2 2 4 6 4 o 1 可以看出 y 2x2向 平移一个单位长度得到抛物线y 2x2 1 x y 从形的角度探究 上 下 二次函数y ax2 c的图象可以由y ax2的图象平移得到 当c 0时 向上平移c个单位长度得到 当c 0时 向下平移 c个单位长度得到 二次函数y ax2与y ax2 c a 0 的图象的关系 上下平移规律 平方项不变 常数项上加下减 知识要点 二次函数y 3x2 1的图象是将 A 抛物线y 3x2向左平移3个单位得到B 抛物线y 3x2向左平移1个单位得到C 抛物线y 3x2向上平移1个单位得到D 抛物线y 3x2向上平移1个单位得到 解析 二次函数y 3x2 1的图象是将抛物线y 3x2向上平移1个单位得到的 故选D 练一练 D 想一想1 画抛物线y ax2 c的图象有几步 2 抛物线y ax2 c中的a决定什么 怎样决定的 k决定什么 它的对称轴是什么 顶点坐标怎样表示 第一种方法 平移法 两步即第一步画y ax2的图象 再向上 或向下 平移 c 单位 第二种方法 描点法 三步即列表 描点和连线 a决定开口方向和大小 c决定顶点的纵坐标 例2 如图 抛物线y x2 4与x轴交于A B两点 点P为抛物线上一点 且S PAB 4 求P点的坐标 解 抛物线y x2 4 令y 0 得到x 2或 2 即A点的坐标为 2 0 B点的坐标为 2 0 AB 4 S PAB 4 设P点纵坐标为b 4 b 4 b 2 即b 2或 2 当b 2时 x2 4 2 解得x 此时P点坐标为 2 2 当b 2时 x2 4 2 解得x 此时P点坐标为 2 2 当堂练习 1 抛物线y 2x2向下平移4个单位 就得到抛物线 2 填表 y 2x2 向上 向上 向下 0 0 0 1 0 5 y轴 y轴 y轴 有最低点 有最低点 有最高点 3 已知 m n 在y ax2 a a不为0 的图象上 m n 填 在 或 不在 y ax2 a a不为0 的图象上 4 若y x2 k 2 的顶点是原点 则k 若顶点位于x轴上方 则k 若顶点位于x轴下方 则k 在 2 2 2 5 不画函数y x2和y x2 1的图象回答下面的问题 1 抛物线y x2 1经过怎样的平移才能得到抛物线y x2 2 函数y x2 1 当x时 y随x的增大而减小 当x时 函数y有最大值 最大值y是 其图象与y轴的交点坐标是 与x轴的交点坐标是 3 试说出抛物线y x2 3的开口方向 对称轴和顶点坐标 向下平移1个单位 0 0 1 0 1 1 0 1 0 开口方向向上 对称轴是y轴 顶点坐标 0 3 能力提升6 对于二次函数y m 1 xm2 m 3 当x 0时y随x的增大而增大 则m 7 已知二次函数y a 2 x2 a2 2的最高点为 0 2 则a 8 抛物线y ax2 c与x轴交于A 2 0 B两点 与y轴交于点C 0 4 则三角形ABC的面积是 9 二次函数y ax2 c与一次函数y ax c的图象在同一坐标系中的是 x y 0 x y