高中数学 第一章 数列 3_2 等比数列的前n项和(一)课件 北师大版必修5

第一章数列 3 2等比数列的前n项和 一 1 掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路 2 会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一等比数列的前n项和公式的推导 对于S64 1 2 4 8 262 263 用2乘以等式的两边可得2S64 2 4 8 262 263 264 对这两个式子作怎样的运算能解出S64 答案 梳理 设等比数列 an 的首项是a1 公比是q 前n项和Sn可用下面的 错位相减法 求得 Sn a1 a1q a1q2 a1qn 1 则qSn a1q a1q2 a1qn 1 a1qn 由 得 1 q Sn a1 a1qn 知识点二等比数列的前n项和公式的应用 思考 答案 要求等比数列前8项的和 1 若已知数列的前三项 用哪个公式比较合适 2 若已知a1 a9和q 用哪个公式比较合适 答案 梳理 一般地 使用等比数列求和公式时需注意 1 一定不要忽略q 1的情况 2 知道首项a1 公比q和项数n 可以用 知道首尾两项a1 an和q 可以用 3 在通项公式和前n项和公式中共出现了5个量 a1 n q an Sn 知道其中任意三个 可求其余两个 简称为 知三求二 题型探究 解答 类型一等比数列前n项和公式的应用 命题角度1前n项和公式的直接应用例1求下列等比数列前8项的和 解答 反思与感悟 求等比数列前n项和 要确定首项 公比或首项 末项 公比 应特别注意q 1是否成立 跟踪训练1若等比数列 an 满足a2 a4 20 a3 a5 40 则公比q 前n项和Sn 答案 解析 2 2n 1 2 设等比数列的公比为q a2 a4 20 a3 a5 40 20q 40 且a1q a1q3 20 解得q 2 且a1 2 命题角度2通项公式 前n项和公式的综合应用例2在等比数列 an 中 S2 30 S3 155 求Sn 解答 方法一由题意知 方法二若q 1 则S3 S2 3 2 而事实上 S3 S2 31 6 故q 1 反思与感悟 1 在等比数列的通项公式和前n项和公式中 共涉及五个量 a1 an n q Sn 其中首项a1和公比q为基本量 且 知三求二 2 在前n项和公式的应用中 注意前n项和公式要分类讨论 即q 1和q 1时是不同的公式形式 不可忽略q 1的情况 跟踪训练2在等比数列 an 中 a1 2 S3 6 求a3和q 解答 由题意 得若q 1 则S3 3a1 6 符合题意 此时 q 1 a3 a1 2 若q 1 则由等比数列的前n项和公式 解得q 2 此时 a3 a1q2 2 2 2 8 综上所述 q 1 a3 2或q 2 a3 8 类型二等比数列前n项和的实际应用 例3某地投入资金进行生态环境建设 并以此发展旅游产业 根据规划 本年度投入800万元 以后每年投入将比上年减少 本年度当地旅游收入估计为400万元 由于该项建设对旅游业的促进作用 预计今后的旅游业收入每年会比上年增长 求n年内的总投入与n年内旅游业的总收入 解答 反思与感悟 解应用题先要认真阅读题目 理解题意后 将文字语言向数字语言转化 建立数学模型 再用数学知识解决问题 跟踪训练3一个热气球在第一分钟上升了25m的高度 在以后的每一分钟里 它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80 这个热气球上升的高度能超过125m吗 解答 当堂训练 1 等比数列1 x x2 x3 的前n项和Sn等于 答案 解析 1 2 3 4 答案 解析 2 设等比数列 an 的公比q 2 前n项和为Sn 则等于 1 2 3 4 1 2 3 4 3 等比数列 an 的各项都是正数 若a1 81 a5 16 则它的前5项的和是A 179B 211C 243D 275 1 2 3 4 答案 解析 去年产值为a 今年起5年内各年的产值分别为1 1a 1 12a 1 13a 1 14a 1 15a 1 1a 1 12a 1 13a 1 14a 1 15a 11a 1 15 1 1 2 3 4 4 某厂去年产值为a 计划在5年内每年比上一年产值增长10 从今年起5年内 该厂的总产值为 答案 解析 11a 1 15 1 规律与方法 1 在等比数列的通项公式和前n项和公式中 共涉及五个量 a1