结构力学课件第章渐近法讲解

第九章渐近法 9 1概述 计算超静定结构 不论采用力法或位移法 均要组成和解算典型方程 当未知量较多时 其工作量非常大 为了寻求较简捷的计算方法 自本世纪三十年代以来 又陆续出现了各种渐近法 力矩分配法就是其一 渐近法的共同特点是 避免了组成和解算典型方程 而以逐次渐近的方法来计算杆端弯矩 其结果的精度随计算轮次的增加而提高 最后收敛于精确解 这些方法的概念生动形象 每轮计算的程序均相同 易于掌握 适合手算 并可不经过计算结点位移而直接求得杆端弯矩 在结构设计中被广泛采用 9 2力矩分配法的基本原理 理论基础 位移法 计算结果 杆端弯矩 适用范围 连续梁和无侧移刚架 力矩分配法 1 劲度系数 传递系数 劲度系数 转动刚度 Sij定义如下 当杆件AB的A端转动单位角时 A端 又称近端 的弯矩MAB称为该杆端的劲度系数 用SAB表示 它标志着该杆端抵抗转动能力的大小 故又称为转动刚度 则劲度系数与杆件的远端支承情况有关 由转角位移方程知远端固定时 A B EI L 1 MAB 4i MBA A B EI 1 MAB 3i SAB MAB 4i 远端铰支时 SAB MAB 3i SAB 3i A B 1 远端滑动支承时 EI MAB i MBA SAB MAB i SAB i 远端自由时 A B 1 MAB o EI SAB MAB 0 SAB 0 SAB 4i 如果把A端改成固定铰支座 可动铰支座或可转动 但不能移动 的刚结点转动刚度SAB的数值是否不变 注意 转动刚度与远端支承有关而与近端支承无关 A端一般称为近端B端一般称为远端 对等直杆 SAB只与B端的支承条件有关 2 传递系数Cij A B EI L 1 MAB 4i A B EI 1 MAB 3i SAB MAB 4i SAB MAB 3i A B 1 EI MAB i MBA i SAB MAB i A B 1 MAB EI SAB MAB 0 当近端A转动时 另一端B 远端 也产生一定的弯矩 这好比是近端的弯矩按一定比例传到远端一样 故将B端弯矩与A端弯矩之比称为由A端向B端的传递系数 用CAB表示 即 则远端弯矩为 MBA CABMAB 远端固定时 CAB 0 5 远端铰支时 CAB 0 远端滑动支承 CAB 1 由表右图或表 8 1 可得 MBA 2i 等截面直杆的转动刚度和传递系数 在确定杆端转动刚度时 近端看位移 是否为单位位移 远端看支承 远端支承不同 转动刚度不同 下列那种情况的杆端弯矩MAB SAB 转动刚度SAB 4i是 2 力矩分配法的基本原理 现以下图所示刚架为例说明力矩分配法的基本原理 1 2 3 4 q P a 1 2 3 4 b MP图 图 a 所示刚架用位移法计算时 只有一个未知量即结点转角Z1 其典型方程为 r11Z1 R1P 0 绘出MP图 图b 可求得自由项为 R1P R1P是结点固定时附加刚臂上的反力矩 可称为刚臂反力矩 它等于结点1的杆端固端弯矩的代数和 即各固端弯矩所不平衡的 差值 称为结点上的不平衡力矩 R1P 1 R1P r11 式中 S1j代表汇交于结点1的各杆端劲度系数的总和 1 2 3 4 c 图 2i12 4i12 3i13 i14 绘出结构的 图 见图c 计算系数为 解典型方程得 Z1 然后可按叠加法M 计算各杆端的最后弯 弯矩 4i12 3i13 i14 S12 S13 S14 S1j M12 M13 M14 以上各式右边第一项为荷载产生的弯矩 即固端弯矩 第二项为结点转动Z1角所产生的弯矩 这相当于把不平衡力矩反号后按劲度系数大小的比例分配给近端 因此称为分配弯矩 12 13 14等称为分配系数 其计算公式为 结点1的各近端弯矩为 显然 同一结点各杆端的分配系数之和应等于1 即 1j 1 各远端弯矩如下 M21 M31 M41 各式右边的第一项仍是固端弯矩 第二项是由结点转动Z1角所产生的弯矩 它好比是将各近端的分配弯矩以传递系数的比例传到各远端一样 故称为传递弯矩 得出上述规律后 便可不必绘MP 图 也不必列出和求解 典型方程 而直接按以上结论计算各杆端弯矩 其过程分为两步 1 固定结点 即加入刚臂 此时各杆端有固端弯矩 而结点上有不平衡力矩 它暂时由刚臂承担 2 放松结点 即取消刚臂 让结点转动 这相当于在结点上又加入一个反号的不平衡力矩 于是不平衡力矩被消除而结点获得平衡 此反号的不平衡力矩将按劲度系数大小的比例分配给各近端 于是各近端得到分配弯矩 同时各自向其远端进行传递 各远端弯矩等于固端弯矩加上传递弯矩 例9 1 试用力矩分配法作刚架的弯矩图 A B C D 30kN m 50kN a 解 1 计算各杆端分配系数 AB AC AD AB 0 445 AC 0 333 AD 0 222 2 计算固端弯矩 据表 8 1 EI 2EI EI 4m 2m 2m 4m 12 qL2 12 qL2 8 3PL 8 PL 3 进行力矩的分配和传递 结点A的不平衡力矩为 A C D 杆端 AB AC AD BA CA DA 0 445 0 333 0 222 分配系数 固端弯矩 40 40 0 75 25 0 35 分配弯矩 15 5 11 7 7 8 7 8 0 7 8 32 2 55 5 最后弯矩 11 7 67 2 32 8 0 B 55 5 60 11 7 67 2 32 8 M图 kN m b 32 2 4 计算杆端最后弯矩并作弯矩图 35 计算图示刚架 作弯矩图 解 1 2 3 8 1 8 1 4 1 4 1 8 单结点结构在跨中荷载作用下的力矩分配法 1 锁住结点 求固端弯矩 150 150 90 2 去掉约束 相当于在结点加上负的不平衡力矩 并将它分给各个杆端及传递到远端 MB 150 90 60 SBA 4 3i 12i SBC 3 4i 12i BA 12i 24i 1 2 BC 12i 24i 1 2 30 30 15 3 叠加1 2 得到最后杆端弯矩 计算过程可列表进行 1 2 1 2 150 m 150 90 30 30 15 M 175 120 120 M图 kN m 不平衡力矩 固端弯矩之和 结点不平衡力矩要变号分配 用力矩分配法计算 画M图 解 1 求 4 9 2 9 3 9 50 50 80 M MA mAB mAD mAC 50 80 15 45 结点 B A C D 杆端 分配系数 BA AB AD AC CA DA 4 9 3 9 2 9 分配与传递 20 固端弯矩 50 50 80 10 15 10 10 最后弯矩 40 70 65 10 10 100 M图 kN m 100 10 M图 kN m 例9 3 计算图示梁 作弯矩图 解 小结 本节需要掌握的基本概念有 1 转动刚度 劲度系数 2 传递系数 3 不平衡力矩 4 分配系数 5 分配力矩 6 传递力矩 7 最终杆端弯矩 各杆近端弯矩 固端弯矩 全部分配弯矩各杆远端弯矩 固端弯矩 全部传递弯矩 练习 求不平衡力矩 作图示梁的弯矩图 利用传递系数的概念 40kN m 20kN m 9 3用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 多结点 位移 分配对多结点 位移 结构 弯矩分配法的思路是 首先将全部结点锁定 然后从不平衡力矩最大的一结点开始 在锁定其他结点条件下放松该结点使其达到 平衡 包括分配和传递 接着重新锁定该结点 放松不平衡力矩次大的结点 如此一轮一轮逐点放松 直至不平衡力矩小到可忽略 分配和传递可从任意一点开始 前述从不平衡力矩最大点开始 经验证明这样可加速收敛 由弯矩分配法思路可知 对多结点问题它是一种逐渐逼近精确解的近似方法 实际应用时 一般只进行二 三轮的分配和传递 因为分配系数小于1 传递系数也小于1 因此一轮分配 传递后 新的不平衡力矩一定比原来的小 理论上经过无限次分配 传递结构一定达到平衡 也即可以获得问题的精确解 例9 2用力矩分配法计算图示连续梁 0 1 2 3 25kN m 400kN 25kN m 解 固定1 2结点 列表计算如下 12m 6m 6m 12m 分配系数 10 12 21 23 固端弯矩MF 300 300 600 600 300 450 0 150 结点1分配传递 150 150 75 75 结点2分配传递 129 96 64 0 结点1分配传递 32 32 16 16 结点2分配传递 9 7 5 0 0 5 0 5 0 571 0 429 结点1分配传递 2 3 1 1 结点2分配传递 1 0 最后弯矩M 208 484 484 553 553 0 EI EI EI 225 225 例9 3用力矩分配法计算图示连续梁 1 5kN m 8kN 4kN 5m 8m 3m 5m 5m 1 5kN m 8kN 4kN 4kN m 0 375 0 625 0 5 0 5 0 375 0 625 MF 0 4 69 8 8 9 38 5 62 2 4 分配及传递 4 76 2 86 2 38 0 A B C D E F I 2I 2I I 0 8i i i 0 8i 1m A B C D E 1 24 2 07 0 1 03 1 37 1 36 0 68 0 68 0 43 0 25 0 21 0 25 0 43 0 21 7 62 3 31 2 73 0 42 0 21 0 21 0 11 0 11 0 04 0 07 0 03 0 07 0 04 0 03 0 03 0 03 0 02 0 02 0 01 0 01 0 01 0 01 M 0 5 63 5 63 10 40 10 40 1 16 1 16 4 1 5kN m 8kN 4kN A B C D E F I 2I 2I I M 0 5 63 5 63 10 40 10 40 1 16 1 16 4 5 63 4 69 1 88 12 1 16 15 0 4 8 06 M图 0 10 40 3 98 多结点结构的力矩分配法得的是渐近解 首先从结点不平衡力矩较大的结点开始 以加速收敛 不能同时放松相邻的结点 因为两相邻结点同时放松时 它们之间的杆的转动刚度和传递系数定不出来 但是 可以同时放松所有不相邻的结点 这样可以加速收敛 每次要将结点不平衡力矩变号分配 小结 4i 2i SAG 4i SAC 4i SCA 4i SCH 2i SCE 4i AG 0 5 AC 0 5 CA 0 4 CH 0 2 CE 0 4 0 5 0 5 0 4 0 2 0 4 15 7 57 5 3 75 1 50 0 75 1 50 0 75 0 75 0 370 38 0 19 0 08 0 03 0 08 0 04 0 04 0 020 02 M 7 11 7 11 2 36 0 78 1 58 0 79 0 79 M图 kN m 57 1 固定状态 28 6 42 9 9 2 12 2 6 1 3 5 2 6 1 8 放松结点2 结点1固定 放松结点1 结点2固定 0 571 0 4