线性代数复习课件特征.ppt

方阵的特征值与特征向量及相似矩阵 向量的内积 特征值与特征向量 方阵的对角化 主要知识 1 向量的内积 定义 x y xiyi 性质 范数 x 正交 x y 0 1 x y y x 2 x y x y 3 x y z x z y z 向量的内积 2 特征值与特征向量 特征值与特征向量 定义 Ax x x 0 求法 特征值 特征向量 相似 实对称矩阵隐含的信息 性质 1 定义法 Ax x 2 特征多项式法 E A 1 定义法 Ax x 2 A E x 0的基础解系法 3 性质 性质 不同特征值的特征向量线性无关 k重特征值至多有k个线性无关的特征向量 4 相似 相似 定义 P 1AP B 可对角化 1 A有n个线性无关的特征向量 2 R A kE n k k是A的k重特征值 1 A有n个不同的特征值 2 A是实对称矩阵 应用 5 实对称矩阵隐含的信息 实对称矩阵隐含的信息 必可以对角化 且可用正交变换 不同的特征值所对应的特征向量正交 特征值全为实数 k重特征值必有k个线性无关的特征向量 与对角矩阵合同 6 二 重要方法 1 求特征值与特征向量 1 由特征方程 A E 0 求出A的特征值 i 共n个 再解齐次线性方程组 A iE x 0 其基础解系就是 i所对应的特征向量 2 用定义法Ax x 适用于抽象的矩阵 2 判断A能否对角化 若A是实对称矩阵 则A必能对角化 这是充分条件 对于一般的n阶方阵A 判断步骤如下 1 由特征方程 A E 0 求出A的特征值 共n个 若A的n个特征值各不相同 则A必能对角化 7 2 对于A的k重特征值 k 求秩R A kE 若其秩等于n k 则A可对角化 若秩R A kE n k 则A不可对角化 3 求相似标准形的方法 可对角化的矩阵 1 求A的全部特征值 1 2 n 2 对每个特征值 i求 A iE x 0的基础解系 得出特征值 i所对应特征向量pi 3 将求得的n个线性无关的特征向量构造可逆矩阵P 令P p1 p2 pn 则P 1AP 4 用对角化求An 若A能对角化 则求出A的特征值与特征向量 由p 1Ap 得A P P 1 从而An P nP 1 其中 对角矩阵 是由A的特征值所构成 可逆矩阵P由相应的特征向量所构成 8 三 典型例题 1 填空 选择题 例1填空题 设4阶方阵A相似于B 且A的特征值为则 B 1 E 解因为A B 所以B的特征值为从而B 1的特征值为2 3 4 5 p124定理3 p122例8 9 因此B 1 E的特征值为1 2 3 4 故 B 1 E 1 2 3 4 24 24 9 若n阶可逆方阵A的行和为a 则2A 1 3E的一个特征值为 解由于A的行和为a 即相当于 可见 a为A的一个特征值 于是A 1的一个特征值为a 1 故2A 1 3E的一个特征值为 10 设3阶矩阵 则A的特征值为 A 1 0 1 B 1 1 2 C 1 1 2 D 1 1 1 解用排除法 设A的特征值 1 2 3 由于 1 2 3 a11 a22 a33 2 故可排除 B D 又因为 1 2 3 A 2 所以可排除 A 故选 C 例2单项选择题 C 11 例2求矩阵的特征值和特征向量 解 A的特征多项式为 所以A的特征值为 1 2 2 3 1 得基础解系p2 1 2 1 T 得基础解系p1 0 0 1 T 对于 1 2 解方程 A 2E x 0 所以kp1 k 0 是对应于 1 2的全部特征向量 对于 2 3 1 解方程 A E x 0 所以kp2 k 0 是对应于 2 3 1的全部特征向量 例4设 是方阵A的特征值 证明 1 2是A2的特征值 证明 因为 是A的特征值 故有p 0 使Ap p 于是 1 A2p 2p Ap A p A Ap 所以 2是A2的特征值 因为p 0 知 0 有p A 1p 由Ap p 2 当A可逆时 按此例类推 不难证明 若 是A的特征值 则 k是Ak的特征值 是 A 的特征值 其中 a0 a1 an n是 的多项式 A a0E a1A anAn是矩阵A的多项式 例5设3阶矩阵A的特征值为1 1 2 求 A 3A 2E 因为A的特征值全不为0 知A可逆 故A A A 1 而 A 1 2 3 2 所以 解 2A 1 3A 2E A 3A 2E 把上式记作 A 故 A 的特征值为 有 2 1 3 2 1 1 1 3 2 3 9 1 3 3 于是 A 3A 2E 若 是A的特征值 则 k是Ak的特征值 是 A 的特征值 其中 是 的多项式 A 是矩阵A的多项式 问A能否对角化 解 A E 2 1 2 由于 故A的特征值为 1 2 2 3 1 对于 1 2 解线性方程组 A 2E x 0 得基础解系p1 0 0 1 T 对于 2 3 1 解线性方程组 A E x 0 得基础解系p2 1 2 1 T 因为A只有两个线性无关的特征向量 因此A不能对角化 例1设 求正交阵P 使P 1AP 为对角阵 解 由 A E 1 2 2 将 1单位化 得 2 1 1 0 T 3 1 0 1 T 将 2 3正交化 单位化得 得特征值 1 2 2 3 1 得基础解系 1 1 1 1 T 对应 1 2 解方程 A 2E x 0 对应 2 3 1 解方程 A E x 0 得基