高考数学大一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 12_4 复数课件 文 北师大版

12 4复数 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 复数的有关概念 知识梳理 1 定义 形如a bi a b R 的数叫作复数 其中a叫作复数z的 b叫作复数z的 i为虚数单位 2 分类 实部 虚部 b 0 b 0 a 0且b 0 3 复数相等 a bi c di a b c d R 4 共轭复数 a bi与c di共轭 a b c d R 5 模 向量的模叫作复数z a bi的模 记作或 即 z a bi a b R a c且b d a c b d a bi z 2 复数的几何意义 复数z a bi与复平面内的点及平面向量 a b a b R 是一一对应关系 Z a b 3 复数的运算 1 运算法则 设z1 a bi z2 c di a b c d R a c b d i ac bd bc ad i 2 几何意义 复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义 即 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 方程x2 x 1 0没有解 2 复数z a bi a b R 中 虚部为bi 3 复数中有相等复数的概念 因此复数可以比较大小 4 原点是实轴与虚轴的交点 5 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离 也就是复数对应的向量的模 考点自测 1 2016 全国乙卷 设 1 2i a i 的实部与虚部相等 其中a为实数 则a等于A 3B 2C 2D 3 答案 解析 1 2i a i a 2 2a 1 i a 2 2a 1 解得a 3 故选A 2 2015 课标全国 已知复数z满足 z 1 i 1 i 则z等于A 2 iB 2 iC 2 iD 2 答案 解析 由 z 1 i 1 i 两边同乘以 i 则有z 1 1 i 所以z 2 i 3 在复平面内 复数6 5i 2 3i对应的点分别为A B 若C为线段AB的中点 则点C对应的复数是 答案 解析 A 6 5 B 2 3 线段AB的中点C 2 4 则点C对应的复数为z 2 4i A 4 8iB 8 2iC 2 4iD 4 i A 1 2iB 1 2iC 3 4iD 3 4i 答案 解析 5 i2011 i2012 i2013 i2014 i2015 i2016 i2017 答案 解析 1 原式 i3 i4 i1 i2 i3 i4 i 1 题型分类深度剖析 题型一复数的概念 例1 1 2015 福建 若 1 i 2 3i a bi a b R i是虚数单位 则a b的值分别等于A 3 2B 3 2C 3 3D 1 4 1 i 2 3i 3 2i a bi 答案 解析 a 3 b 2 故选A 2 若z1 m2 m 1 m2 m 4 i m R z2 3 2i 则 m 1 是 z1 z2 的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 所以 m 1 是 z1 z2 的充分不必要条件 答案 解析 3 2016 天津 i是虚数单位 复数z满足 1 i z 2 则z的实部为 1 答案 解析 引申探究1 将本例 1 中方程左边改为 1 i 2 3i 求a b的值 解答 1 i 2 3i 2 3 i 5 i a bi 所以a 5 b 1 2 将本例 3 中的条件 1 i z 2 改为 1 i 3z 2 求z的实部 解答 解决复数概念问题的方法及注意事项 1 复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题 只需把复数化为代数形式 列出实部和虚部满足的方程 不等式 组即可 2 解题时一定要先看复数是否为a bi a b R 的形式 以确定实部和虚部 思维升华 答案 解析 答案 解析 题型二复数的运算 命题点1复数的乘法运算例2 1 2016 四川 设i为虚数单位 则复数 1 i 2等于A 0B 2C 2iD 2 2i 答案 解析 1 i 2 12 i2 2i 1 1 2i 2i 2 2016 全国乙卷 设 1 i x 1 yi 其中x y是实数 则 x yi 等于 答案 解析 由 1 i x 1 yi 得x xi 1 yi 3 2015 课标全国 若a为实数 且 2 ai a 2i 4i 则a等于 答案 解析 因为a为实数 且 2 ai a 2i 4a a2 4 i 4i 得4a 0且a2 4 4 解得a 0 故选B A 1B 0C 1D 2 命题点2复数的除法运算例3 1 2016 全国丙卷 若z 1 2i 则等于 A 1B 1C iD i 答案 解析 2 2016 北京 复数等于 A iB 1 iC iD 1 i 答案 解析 1 i 答案 解析 命题点3复数的综合运算例4 1 2016 山东 若复数z满足2z 3 2i 其中i为虚数单位 则z等于 答案 解析 A 1 2iB 1 2iC 1 2iD 1 2i 答案 解析 3 若复数z满足 3 4i z 4 3i 则z的虚部为 设z a bi 答案 解析 故 3 4i a bi 3a 3bi 4ai 4b 4 3i 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略 1 复数的乘法 复数的乘法类似于多项式的四则运算 可将含有虚数单位i的看作一类同类项 不含i的看作另一类同类项 分别合并即可 2 复数的除法 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数 解题中要注意把i的幂写成最简形式 3 复数的运算与复数概念的综合题 先利用复数的运算法则化简 一般化为a bi a b R 的形式 再结合相关定义解答 思维升华 4 复数的运算与复数几何意义的综合题 先利用复数的运算法则化简 一般化为a bi a b R 的形式 再结合复数的几何意义解答 5 复数的综合运算 分别运用复数的乘法 除法法则进行运算 要注意运算顺序 要先算乘除 后算加减 有括号要先算括号里面的 A 1 iB 1 iC 1 iD 1 i 答案 解析 i 答案 解析 答案 解析 题型三复数的几何意义 例5 1 ABC的三个顶点对应的复数分别为z1 z2 z3 若复数z满足 z z1 z z2 z z3 则z对应的点为 ABC的 答案 解析 由几何意义知 复数z对应的点到 ABC三个顶点距离都相等 z对应的点是 ABC的外心 A 内心B 垂心C 重心D 外心 2 如图所示 平行四边形OABC 顶点O A C分别表示0 3 2i 2 4i 试求 解答 3 2i 2 4i 5 2i 解答 即B点对应的复数为1 6i 解答 B点对应的复数 因为复平面内的点 向量及向量对应的复数是一一对应的 要求某个向量对应的复数时 只要找出所求向量的始点和终点 或者用向量相等直接给出结论即可 思维升华 解答 设z x yi x y R z 2i x y 2 i 由题意得y 2 由题意得x 4 z 4 2i z ai 2 12 4a a2 8 a 2 i 解得2 a 6 实数a的取值范围是 2 6 典例 12分 已知x y为共轭复数 且 x y 2 3xyi 4 6i 求x y 解决复数问题的实数化思想 思想与方法系列24 规范解答 1 复数问题要把握一点 即复数问题实数化 这是解决复数问题最基本的思想方法 2 本题求解的关键是先把x y用复数的基本形式表示出来 再用待定系数法求解 这是常用的数学方法 3 本题易错原因为想不到利用待定系数法 或不能将复数问题转化为实数方程求解 思想方法指导 解设x a bi a b R 则y a bi x y 2a xy a2 b2 3分 代入原式 得 2a 2 3 a2 b2 i 4 6i 5分 课时作业 1 若复数z x2 1 x 1 i为纯虚数 则实数x的值为A 1B 0C 1D 1或1 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 4B 2C 2D 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 解析 A EB FC GD H 由题图知复数z 3 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 解析 单位 则z等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 1 iB 1 IC 1 iD 1 i 答案 解析 2z 2i 2 z 1 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 1B 2C 3D 无数个 f 1 0 f 2 2 f 3 0 f 4 2 f 5 0 集合中共有3个元素 答案 解析 6 集合M 4 3m m 3 i 其中i为虚数单位 N 9 3 若M N 则实数m的值为A 1B 3C 3或 3D 3 答案 解析 由题意可知 3m m 3 i必为实数 则m 3 经检验符合题意 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 2016 陕西西工大附中模拟 已知a为实数 若复数z a2 3a 4 a 4 i为纯虚数 则复数a ai在复平面内对应的点位于A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 得a 1 则复数a ai 1 i对应的坐标为 1 1 位于第二象限 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若复数z a2 3a 4 a 4 i为纯虚数 8 复数 3 i m 2 i 对应的点在第三象限内 则实数m的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 解析 9 已知集合M 1 m 3 m2 5m 6 i N 1 3 若M N 3 则实数m的值为 答案 解析 3或6 M N 3 3 M且 1 M m 1 3 m2 5m 6 i 3或m 3 m2 5m 6 0且m 1或m 3 解得m 6或m 3 经检验符合题意 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由m 1 i 1 ni 得m n 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 解析 i 2 3 由根与系数的关系知 b 2 c 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 解析 12 给出下列命题 若z C 则z2 0 若a b R 且a b 则a i b i 若a R 则 a 1 i是纯虚数 若z i 则z3 1在复平面内对应的点位于第一象限 其中正确的命题是 填上所有正确命题的序号 答案 解析 由复数的概念及性质知 错误 错误 若a 1 则 a 1 i 0 错误 z3 1 i 3 1 i 1 正确 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解答 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解答 又 a 5 a 1 0 a 5且a 1 故a 3 1 2 3 4 5