高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9_1 直线的方程课件 文 新人教版

9 1直线的方程 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 定义 当直线l与x轴相交时 取x轴作为基准 x轴正向与直线l之间所成的角叫做直线l的倾斜角 当直线l与x轴时 规定它的倾斜角为0 2 范围 直线l倾斜角的范围是 1 直线的倾斜角 知识梳理 平行或重合 向上 方向 0 180 2 斜率公式 1 若直线l的倾斜角 90 则斜率k tan 几何画板展示 3 直线方程的五种形式 y y0 k x x0 y kx b Ax By C 0 A2 B2 0 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置 2 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率 3 直线的倾斜角越大 其斜率就越大 4 直线的斜率为tan 则其倾斜角为 5 斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等 6 经过任意两个不同的点P1 x1 y1 P2 x2 y2 的直线都可以用方程 y y1 x2 x1 x x1 y2 y1 表示 几何画板展示 1 2016 天津模拟 过点M 2 m N m 4 的直线的斜率等于1 则m的值为A 1B 4C 1或3D 1或4 考点自测 答案 解析 2 直线x y a 0的倾斜角为A 30 B 60 C 150 D 120 答案 解析 0 180 60 3 如果A C 0且B C 0 那么直线Ax By C 0不通过A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 答案 解析 由已知得直线Ax By C 0在x轴上的截距 0 在y轴上的截距 0 故直线经过第一 二 四象限 不经过第三象限 4 教材改编 直线l ax y 2 a 0在x轴和y轴上的截距相等 则实数a 答案 解析 1或 2 令x 0 得直线l在y轴上的截距为2 a 5 过点A 2 3 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 答案 解析 3x 2y 0或x y 5 0 当直线不过原点时 设直线方程为 1 即x y a 将点A 2 3 代入 得a 5 即直线方程为x y 5 0 故所求直线的方程为3x 2y 0或x y 5 0 题型分类深度剖析 题型一直线的倾斜角与斜率 例1 1 2016 北京东城区期末 已知直线l的倾斜角为 斜率为k 那么的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 答案 解析 2 直线l过点P 1 0 且与以A 2 1 B 0 为端点的线段有公共点 则直线l斜率的取值范围为 答案 解析 如图 几何画板展示 引申探究 1 若将本例 2 中P 1 0 改为P 1 0 其他条件不变 求直线l斜率的取值范围 解答 2 若将本例 2 中的B点坐标改为 2 1 其他条件不变 求直线l倾斜角的范围 解答 如图 直线PA的倾斜角为45 直线PB的倾斜角为135 由图象知l的倾斜角的范围为 0 45 135 180 思维升华 跟踪训练1 2017 开封月考 若直线l y kx 与直线2x 3y 6 0的交点位于第一象限 则直线的倾斜角的取值范围是 答案 解析 作出两直线的图象 如图所示 题型二求直线的方程 解答 由题设知 该直线的斜率存在 故可采用点斜式 即x 3y 4 0或x 3y 4 0 2 经过点P 4 1 且在两坐标轴上的截距相等 解答 设直线l在x y轴上的截距均为a 若a 0 即l过点 0 0 及 4 1 a 5 l的方程为x y 5 0 综上可知 直线l的方程为x 4y 0或x y 5 0 3 直线过点 5 10 到原点的距离为5 解答 当斜率不存在时 所求直线方程为x 5 0 当斜率存在时 设其为k 则所求直线方程为y 10 k x 5 即kx y 10 5k 0 故所求直线方程为3x 4y 25 0 综上知 所求直线方程为x 5 0或3x 4y 25 0 思维升华 在求直线方程时 应先选择适当的直线方程的形式 并注意各种形式的适用条件 用斜截式及点斜式时 直线的斜率必须存在 而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线 截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线 故在解题时 若采用截距式 应注意分类讨论 判断截距是否为零 若采用点斜式 应先考虑斜率不存在的情况 跟踪训练2求适合下列条件的直线方程 1 经过点P 3 2 且在两坐标轴上的截距相等 解答 设直线l在x y轴上的截距均为a 若a 0 即l过点 0 0 和 3 2 a 5 l的方程为x y 5 0 综上可知 直线l的方程为2x 3y 0或x y 5 0 解答 又直线经过点A 1 3 即3x 4y 15 0 解答 3 过点A 1 1 与已知直线l1 2x y 6 0相交于B点且 AB 5 过点A 1 1 与y轴平行的直线为x 1 求得B点坐标为 1 4 此时 AB 5 即x 1为所求 设过A 1 1 且与y轴不平行的直线为y 1 k x 1 即3x 4y 1 0 综上可知 所求直线方程为x 1或3x 4y 1 0 题型三直线方程的综合应用 命题点1与基本不等式相结合求最值问题 例3已知直线l过点P 3 2 且与x轴 y轴的正半轴分别交于A B两点 如图所示 求 ABO的面积的最小值及此时直线l的方程 解答 方法二依题意知 直线l的斜率k存在且k 0 则直线l的方程为y 2 k x 3 k 0 即 ABO的面积的最小值为12 故所求直线的方程为2x 3y 12 0 例4已知直线l1 ax 2y 2a 4 l2 2x a2y 2a2 4 当0 a 2时 直线l1 l2与两坐标轴围成一个四边形 当四边形的面积最小时 求实数a的值 命题点2由直线方程解决参数问题 解答 由题意知直线l1 l2恒过定点P 2 2 直线l1在y轴上的截距为2 a 直线l2在x轴上的截距为a2 2 思维升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 1 求解与直线方程有关的最值问题 先设出直线方程 建立目标函数 再利用基本不等式求解最值 2 求直线方程 弄清确定直线的两个条件 由直线方程的几种特殊形式直接写出方程 3 求参数值或范围 注意点在直线上 则点的坐标适合直线的方程 再结合函数的单调性或基本不等式求解 跟踪训练3设m R 过定点A的动直线x my 0和过定点B的直线mx y m 3 0交于点P x y 则 PA PB 的最大值是 答案 解析 因为m R 所以定点A 0 0 B 1 3 又1 m m 1 0 所以这两条直线垂直 则 PA 2 PB 2 AB 2 10 当且仅当 PA PB 时 等号成立 典例设直线l的方程为 a 1 x y 2 a 0 a R 1 若l在两坐标轴上的截距相等 求直线l的方程 2 若l在两坐标轴上的截距互为相反数 求a 求与截距有关的直线方程 现场纠错系列10 在求与截距有关的直线方程时 注意对直线的截距是否为零进行分类讨论 防止忽视截距为零的情形 导致产生漏解 错解展示 现场纠错 纠错心得 返回 解 1 当直线过原点时 该直线在x轴和y轴上的截距为零 a 2 方程即为3x y 0 当直线不经过原点时 截距存在且均不为0 a 0 方程即为x y 2 0 综上 直线l的方程为3x y 0或x y 2 0 a 2或a 2 返回 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 2016 威海模拟 过点 2 1 且倾斜角比直线y x 1的倾斜角小的直线方程是A x 2B y 1C x 1D y 2 答案 解析 斜率不存在 过点 2 1 的所求直线方程为x 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 2016 济宁模拟 直线mx y 2m 1 0经过一定点 则该定点的坐标是A 2 1 B 2 1 C 1 2 D 1 2 答案 解析 mx y 2m 1 0 即m x 2 y 1 0 故定点坐标为 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 已知两点M 2 3 N 3 2 直线l过点P 1 1 且与线段MN相交 则直线l的斜率k的取值范围是 答案 解析 如图所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 要使直线l与线段MN相交 当l的倾斜角小于90 时 k kPN 当l的倾斜角大于90 时 k kPM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 直线ax by c 0同时要经过第一 二 四象限 则a b c应满足A ab 0 bc0 bc 0C ab0D ab 0 bc 0 答案 解析 由于直线ax by c 0经过第一 二 四象限 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 如图中的直线l1 l2 l3的斜率分别为k1 k2 k3 则A k1 k2 k3B k3 k1 k2C k3 k2 k1D k1 k3 k2 答案 解析 直线l1的倾斜角 1是钝角 故k1 0 直线l2与l3的倾斜角 2与 3均为锐角且 2 3 所以0 k3 k2 因此k1 k3 k2 故选D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 2017 潍坊质检 直线l过点 2 2 且与x轴 y轴分别交于点 a 0 0 b 若 a b 则直线l的方程为 答案 解析 x y 0或x y 4 0 若a b 0 则直线l过点 0 0 与 2 2 直线l的斜率k 1 直线l的方程为y x 即x y 0 此时 直线l的方程为x y 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 2016 咸阳模拟 直线l ax a 1 y 2 0的倾斜角大于45 则a的取值范围是 答案 解析 当a 1时 直线l的倾斜角为90 符合题意 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 2016 山师大附中模拟 函数y a1 x a 0 a 1 的图象恒过定点A 若点A在mx ny 1 0 mn 0 上 则的最小值为 答案 解析 函数y a1 x a 0 a 1 的图象恒过定点A 1 1 把A 1 1 代入直线方程得m n 1 mn 0 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 2016 太原模拟 已知两点A 1 2 B m 3 1 求直线AB的方程 解答 当m 1时 直线AB的方程为x 1 即x m 1 y 2m 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 已知点P 2 1 1 求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程 解答 过点P的直线l与原点的距离为2 而点P的坐标为 2 1 显然 过点P 2 1 且垂直于x轴的直线满足条件 此时直线l的斜率不存在 其方程为x 2 若斜率存在 设l的方程为y 1 k x 2 即kx y 2k 1 0 此时l的方程为3x 4y 10 0 综上可得直线l的方程为x 2或3x 4y 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程 最大距离是多少 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线 如图所示 由l OP 得klkOP 1 由直线方程的点斜式 得y 1 2 x 2 即2x y 5 0 所以直线2x y 5 0是过点P且与原点O的距离最大的直线 最大距离为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 是否存在过点P且与原点的距离为