2019_2020学年新教材高中数学第4章指数函数与对数函数章末复习教学案新人教A版必修第一册.docx

第4章 指数函数与对数函数 知识系统整合 规律方法收藏1指数式、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数式、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化2指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，)两个区间取值时，函数的单调性及图象特点3比较几个数的大小是指数函数、对数函数性质的应用，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比较，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较4求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间5函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及考查形式有知式选图、知图选式、图象变换以及用图象解题函数图象形象地显示了函数的性质在解方程或不等式时，特别是非常规的方程或不等式，画出图象，利用数形结合能快速解决问题6方程的解与函数的零点：方程f(x)0有实数解函数yf(x)有零点函数yf(x)的图象与x轴有交点7零点判断法：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的解注意：由f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)内可能有零点，也可能无零点8二分法只能求出其中某一个零点的近似值，另外应注意初始区间的选择9用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下： 学科思想培优一、指数、对数函数的典型问题及求解策略指数函数、对数函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以已学函数的单调性为主，结合复合函数单调性的判断法则，在函数定义域内进行讨论1求定义域典例1(1)函数y的定义域是()A2，)B1，)C(，1D(，2(2)函数f(x)的定义域为()A2,0)(0,2B(1,0)(0,2C2,2D(1,2解析(1)由题意得2x1270，所以2x127，即2x13，又指数函数yx为R上的单调减函数，所以2x13，解得x1.(2)要使函数式有意义，需即得x(1,0)(0,2答案(1)C(2)B2比较大小问题比较几个数的大小是指数、对数函数的又一重要应用，其基本方法是：将两个需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较；有时也采用搭桥法、图象法、特殊值法、作图法等方法典例2若0xy1，则()A3y3xBlogx3logy3Clog4xlog4yDxy解析因为0xy1，则对于A，函数y3x在R上单调递增，故3x3y，错误对于B，根据底数a对对数函数ylogax的影响：当0a1时，在x(1，)上“底小图高”因为0xylogy3，错误对于C，函数ylog4x在(0，)上单调递增，故log4xy，错误答案C典例3比较三个数0.32，log20.3,20.3的大小解解法一：00.32121，log20.3201，log20.30.3220.3.解法二：作出函数yx2，ylog2x，y2x的大致图象，如图所示，画出直线x0.3，根据直线与三个函数图象的交点位置，即可看出log20.30.321时，为使函数f(x)loga(ax2x)在区间2,4上单调递增，只需g(x)ax2x在区间2,4上单调递增，故应满足解得a，a1.当0a1.二、函数的图象问题对于给定的函数图象，要能从函数左右、上下的分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质注意图象与函数解析式中参数的关系，能够通过变换画出函数的图象1图象的变换典例5为了得到函数ylg 的图象，只需把函数ylg x的图象上所有的点()A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度解析ylg lg (x3)1，只需将ylg x 的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到函数ylg 的图象答案C2根据函数解析式确定图象典例6已知f(x)ax2，g(x)loga|x|(a0，且a1)，若f(4)g(4)0，则yf(x)，yg(x)在同一平面直角坐标系内的大致图象是()解析由f(4)g(4)0知a2loga40，loga40，0a1，f(x)和g(x)在(0，)上都单调递减答案B三、等价转化思想的体现一般来说，小题对指数函数、对数函数的考查，仅限于这两类函数本身的概念、图象与性质而解答题往往注重考查与这两类函数有关的复合函数的性质这类题目的解题思想是：通过换元转化成其他函数，或是将其他函数通过转化与化归，变成这两类函数来处理典例7已知函数f(x)x，当x1,1时，求函数yf(x)22af(x)3的最小值g(a)解x1,1，x.yf(x)22af(x)32x2ax323a2.令tx，则t.若a3，则当t3，即x1时，ymin96a3126A综上可知：g(a)四、函数零点与方程的解根据函数零点的定义，函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的解，判断一个方程是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)0是否有解，有几个解从图形上说，函数的零点就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数零点、方程的解、函数图象与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视典例8关于x的方程xlg x3，x10x3的解分别为，则等于()A6B5 C4D3解析将方程变形为lg x3x和10x3x.令y1lg x，y210x，y33x，在同一平面直角坐标系中分别作出y1lg x，y210x，y33x的图象，如图所示这样方程lg x3x的解可以看成函数y1lg x和y33x的图象的交点A的横坐标，方程10x3x的解可以看成函数y210x和y33x的图象交点B的横坐标因为函数y1lg x和y210x互为反函数，所以y1lg x和y210x的图象关于直线yx对称，由题意可得出A，B两点也关于直线yx对称，于是A，B两点的坐标分别为A(，)，B(，)而A，B两点都在直线y3x上，所以3，所以3.答案D典例9已知函数f(x)x2x，g(x)xln x，h(x)x1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是_答案x1x2x3解析令x2x0，得2xx；令xln x0，得ln xx；在同一平面直角坐标系内画出y2x，yln x，yx的图象，如图可知x10x21.令h(x)x10，则()210，所以，即x321.所以x1x2x3.五、函数模型的应用针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画这当然需要我们深刻理解已学函数的图象和性质，熟练掌握已学函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的认识对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图象的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果典例10为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？解(1)描点、作图，如图甲所示：(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型yabx(a，b为常数且b0)取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入yabx，得用计算器可得a2.2，b1.8.这样，得到一个函数模型：y2.21.8x，作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系(3)由(2)得到的函数模型为y2.21.8x，则由y2.21.825，求得y47.2，即当最大积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地约为47.2公顷典例11载人飞船是通过火箭发射的已知某型号火箭的起飞重量M t是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m t和燃料重量x t之和在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y km/s关于x的函数关系为ykln (mx)ln (m)4ln 2(其中k0，ln x是以e为底x的对数)当燃料重量为(1)m t时，该火箭的最大速度为4 km/s.(1)求此型号火箭的最大速度y km/s与燃料重量x t之间的函数解析式；(2)若此型号火箭的起飞重量是479.8 t，则应装载多少吨燃料(精确到0.1 t，取e2.718)才能使火箭的最大飞