第八章 麦克斯韦电磁理论和电磁波山东大学例题ppt课件.ppt

第八章麦克斯韦电磁理论和电磁波 1 一平行板电容器的两极板为圆形金属板 面积均为S 接于一交流电源时 板上的电荷随时间变化 即 试求 1 电容器中的位移电流密度的大小 2 设为由圆板中心到该点的距离 两板之间的磁感应强度分布 解 1 由题意可知 对于平行板电容器电位移矢量的大小为 所以 位移电流密度的大小为 2 由于电容器内无传导电流 故 又由于位移电流具有轴对称性 故可用安培环路求解磁感应强度 设为由圆板中心到场点的距离 并以为半径做圆周路径L 根据全电流安培环路定理可知 通过所围面积的位移电流为 所以 最后可得 注释 由于平行板电容器极板上的电荷随时间作周期性变化 可知电容器极板间的电场也是时间的函数 则由随时间变化的电位移通量可求出位移电流 由于全电流具有轴对称性 可用全电流安培环路定理求出磁场强度H 最后求得磁感应强度B 从结果中看到 BB r t 表明在平行板电容器中的磁场是非均匀磁场 2 充电 试求 如图 a 所示 用二面积为的大圆盘组成一间距为d的平行板电容器 用两根长导线垂直地接在二圆盘的中心 今用可调电源使此电容器以恒定的电流 1 此电容器中的位移电流密度 2 如图 b 所示 电容器中点的磁感应强度 3 证明在此电容器中从半径为 厚度为的圆柱体表面流进的电磁能与圆柱体内增加的电磁能相等 解 1 由全电流概念可知 全电流是连续的 电容器中位移电流密度的方向应如图 c 所示 其大小为 通过电源给电容器充电时 使电容器极板上电荷随时间变化 从而使极板间电场发生变化 因此 也可以这样来求 因为 由于 因此 所以 2 由于传导电流和位移电流均呈轴对称 故磁场也呈轴对称 显然过点的线应为圆心在对称轴上的圆 如图 c 所示 根据全电流安培环路定理 将用于此线上 有 得 所以 3 在电容器中作半径为 厚度为的圆柱体 如图 d 所示 由坡印廷矢量分析可知 S垂直指向圆柱体的侧壁 这表明电磁场的能量是从侧壁流人圆柱体内的 在单位时间内流人的能量为 因为 所以 由于传导电流和位移电流都不随时间变化 故磁场和磁场的能量也都不随时间变化 但电容器中的电场是随时间增强的 故电场的能量是随时间增加的 图 d 中圆柱体内单位时间内增加的电场的能量为 显然 单位时间内流人圆柱体的能量与圆柱体内增加的能量相等 注释 本题中由于电源给平行板电容器稳定充电 电容器极板上电荷不断变化 使极板内部电场稳定变化 产生不随时间变化的位移电流 进而在电容器内部激发磁场 由于传导电流和位移电流的对称性分布 可用安培环路定理求解B 问题 3 中的结果表明电磁场的能量是从电容器的侧面流入的 且单位时间内流入电容器中的能量与电容器内增加的能量相等 3 如图所示 已知电路中直流电源的电动势为12V 电阻R 6 电容器的电容 试求 1 接通电源瞬时电容器极板间的位移电流 2 s时 电容器极板间的位移电流 3 位移电流可持续多长时间 通常认为经过10倍电路时间常数后电流小到可忽略不计 解 对串联电路的暂态过程有 求解该方程得 表示极板上的电荷量是随时间变化 在电容器内 由上题结论得电容器中的位移电流为 对应不同的情况 可求得 1 在接通电源的瞬时 电容器极板间的位移电流A 2 当s时 A 3 在时可认为电流忽略不计 即 所以 s 注释 当接通电源后 电源给电容器充电 所以电容器极板上的电荷量随时间变化 在电容器中产生位移电流 但当充电过程结束时 电容器极板上的电荷q不再变化 电容器内部的电场也不再变化 故此时位移电流消失 4 一球形电容器 其内导体半径为 外导体半径为 两极板之间充有相对介电常数为的介质 现在电容器上加电压 内球与外球的电压为V 假设不太大 以致电容器电场分布与静电场情形近似相等 试求介质中的位移电流密度以及通过半径为的球面的位移电流 解 设电容器极板上带有电荷 由位移电流密度公式可知 由于球形电容器具有球形对称 可用电场高斯定理求出球形极板间的电位移矢量为 为径向单位向量 球形电容器极板间的电势差为 与上式联立 消去 得 所以位移电流密度为 在电容器中 作半径为的球面 r 通过它的位移电流为 的流向沿径向 且随时间变化 注释球形电容器两极板间的电压随时间变化 所以极板间电场变化 产生位移电流 从结果中看出 介质中各处的位移电流密度不同 而穿过任意球面的位移电流与球面大小无关 5 如图所示 电荷以速度向点运动 到点的距离以表示 在点处作一半径为a的圆 圆面与垂直 试求通过该圆面的位移电流和圆周上各点处的磁感应强度 解电荷在其周围要激发电场 同时由于电荷运动 根据麦克斯韦假设 此时随时间变化的电场又激发磁场 设时刻穿过圆面上的电位移通量为 为使计算简便 可以为球心 r为半径 a为小圆半径的底面 做一球冠 球面上各点的的大小相等 穿过题意圆面的电位移通量与穿过球冠的电位移通量相等 即 代入位移电流的定义式 得 取半径为a的圆为积分回路L 由麦克斯韦方程 有 由于运动沿圆面的轴线 系统具有对称性 所以环路上各点的H大小相等 即 得 写成矢量形式有 这正是运动电荷产生的磁场公式 注释 求出电位移通量 就可由位移电流定义求解 因此本题的关键是求解 取球冠求的优点是球面上各点的大小相同 便于计算 而在圆面上各点D的大小是不相同的 需要用积分来解决 由于问题具有轴对称性 可用安培环路定理求解 如图所示 由电容为0 025F的电容器和自感系数为1 015H的线圈构成一振荡电路 若忽略线路中的电阻 充电后电容器所带电量的幅值为2 5C 试求 1 充电时电容器两极板间电位差随时间的变化率 2 电路中电流随时间的变化率 3 电场和磁场能量分别随时间的变化率 解 在图示中 将开关K先后扳向位置2 1使电容器充 放电 便可在电路中产生电流的周期性变化 设电路中电荷随时间的变化规律为 则电路中的充 放电流为 由于在LC电路中 所以回路的振荡频率 1 由题意可知 rad s Hz 所以 代人电容器的电容公式 有 100cos 2000 V 表明电容器两极板间电压随时间作用周期性变化 2 已知电路中电荷变化规律 则有 3 电容器储存的电场能量为 J 线圈储存的磁场能量为 J 整个电路系统的总能量 J 注释 变化的电场在周围空间激发变化的磁场 此变化的磁场又会在较远的周围空间激发变化的感生电场